Nuprl Lemma : rec-comb-classrel

∀[Info,B:Type]. ∀[n:ℕ]. ∀[A:ℕn ⟶ Type]. ∀[Xs:k:ℕn ⟶ EClass(A k)]. ∀[f:Id ⟶ (k:ℕn ⟶ (A k)) ⟶ B ⟶ B].
∀[F:Id ⟶ (k:ℕn ⟶ bag(A k)) ⟶ bag(B) ⟶ bag(B)]. ∀[init:Id ⟶ bag(B)]. ∀[es:EO+(Info)]. ∀[e:E]. ∀[v:B].
  uiff(v ∈ rec-comb(Xs;F;init)(e);↓∃vs:k:ℕn ⟶ (A k)
                                    ∃w:B
                                     ((∀k:ℕn. vs[k] ∈ Xs[k](e))
                                     ∧ w ∈ Prior(rec-comb(Xs;F;init))?init(e)
                                     ∧ (v = (f loc(e) vs w) ∈ B))) 
  supposing ∀x:Id. ∀v:B. ∀bs:k:ℕn ⟶ bag(A k). ∀b:bag(B).
              (v ↓∈ F x bs b ⇐⇒ ↓∃vs:k:ℕn ⟶ (A k). ∃w:B. ((∀k:ℕn. vs k ↓∈ bs k) ∧ w ↓∈ b ∧ (v = (f x vs w) ∈ B)))


Proof



Definitions occuring in Statement :  rec-comb: rec-comb(X;f;init),  primed-class-opt: Prior(X)?b,  classrel: v ∈ X(e),  eclass: EClass(A[eo; e]),  event-ordering+: EO+(Info),  es-loc: loc(e),  es-E: E,  Id: Id,  int_seg: {i..j-},  nat: ℕ,  uiff: uiff(P;Q),  uimplies: b supposing a,  uall: ∀[x:A]. B[x],  so_apply: x[s],  all: ∀x:A. B[x],  exists: ∃x:A. B[x],  iff: P ⇐⇒ Q,  squash: ↓T,  and: P ∧ Q,  apply: f a,  function: x:A ⟶ B[x],  natural_number: $n,  universe: Type,  equal: s = t ∈ T,  bag-member: x ↓∈ bs,  bag: bag(T)
Definitions unfolded in proof :  uiff: uiff(P;Q),  and: P ∧ Q,  uimplies: b supposing a,  member: t ∈ T,  squash: ↓T,  prop: ℙ,  uall: ∀[x:A]. B[x],  nat: ℕ,  le: A ≤ B,  less_than': less_than'(a;b),  false: False,  not: ¬A,  implies: P ⇒ Q,  subtype_rel: A ⊆r B,  classrel: v ∈ X(e),  bag-member: x ↓∈ bs,  so_lambda: λ2x.t[x],  so_apply: x[s],  all: ∀x:A. B[x],  so_lambda: λ2x y.t[x; y],  so_apply: x[s1;s2],  rec-comb: rec-comb(X;f;init),  eclass: EClass(A[eo; e]),  iff: P ⇐⇒ Q,  sq_stable: SqStable(P),  exists: ∃x:A. B[x],  rev_implies: P ⇐ Q,  cand: A c∧ B
Latex:
\mforall{}[Info,B:Type].  \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[A:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  Type].  \mforall{}[Xs:k:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  EClass(A  k)].  \mforall{}[f:Id
                                                                                                                                                {}\mrightarrow{}  (k:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  (A  k))
                                                                                                                                                {}\mrightarrow{}  B
                                                                                                                                                {}\mrightarrow{}  B].  \mforall{}[F:Id
                                                                                                                                                                      {}\mrightarrow{}  (k:\mBbbN{}n
                                                                                                                                                                            {}\mrightarrow{}  bag(A  k))
                                                                                                                                                                      {}\mrightarrow{}  bag(B)
                                                                                                                                                                      {}\mrightarrow{}  bag(B)].
\mforall{}[init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)].  \mforall{}[es:EO+(Info)].  \mforall{}[e:E].  \mforall{}[v:B].
    uiff(v  \mmember{}  rec-comb(Xs;F;init)(e);\mdownarrow{}\mexists{}vs:k:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  (A  k)
                                                                        \mexists{}w:B
                                                                          ((\mforall{}k:\mBbbN{}n.  vs[k]  \mmember{}  Xs[k](e))
                                                                          \mwedge{}  w  \mmember{}  Prior(rec-comb(Xs;F;init))?init(e)
                                                                          \mwedge{}  (v  =  (f  loc(e)  vs  w)))) 
    supposing  \mforall{}x:Id.  \mforall{}v:B.  \mforall{}bs:k:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  bag(A  k).  \mforall{}b:bag(B).
                            (v  \mdownarrow{}\mmember{}  F  x  bs  b
                            \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mdownarrow{}\mexists{}vs:k:\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  (A  k).  \mexists{}w:B.  ((\mforall{}k:\mBbbN{}n.  vs  k  \mdownarrow{}\mmember{}  bs  k)  \mwedge{}  w  \mdownarrow{}\mmember{}  b  \mwedge{}  (v  =  (f  x  vs  w))))


Date html generated: 2016_05_17-AM-09_28_19
Last ObjectModification: 2016_01_17-PM-11_09_55

Theory : classrel!lemmas


Home Index