Nuprl Lemma : combine-antecedent-surjections
∀es:EO
  ∀[A,B,P,Q:E ⟶ ℙ].
    ((∀e:E. Dec(P e))
       
⇒ (∀e:E. Dec(A e))
       
⇒ (∀e:E. Dec(B e))
       
⇒ (∀f:{e:E| A e}  ⟶ {e:E| P e} . ∀g:{e:E| B e}  ⟶ {e:E| Q e} .
             (P ←⟵ f── A
             
⇒ Q ←⟵ g── B
             
⇒ (∃h:{e:E| (A e) ∨ (B e)}  ⟶ {e:E| (P e) ∨ (Q e)} 
                  (λe.((P e) ∨ (Q e)) ←⟵ h── λe.((A e) ∨ (B e))
                  ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . ((A e) 
⇒ ((h e) = (f e) ∈ E)))
                  ∧ (∀e:{e:E| (A e) ∨ (B e)} . (h e) = (g e) ∈ E supposing ¬(A e))))))) supposing 
       ((∀e:E. (¬((P e) ∧ (Q e)))) and 
       (∀e:E. (¬((A e) ∧ (B e)))))
Proof
Definitions occuring in Statement : 
antecedent-surjection: Q ←⟵ f── P
, 
es-E: E
, 
event_ordering: EO
, 
decidable: Dec(P)
, 
uimplies: b supposing a
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
prop: ℙ
, 
all: ∀x:A. B[x]
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
not: ¬A
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
or: P ∨ Q
, 
and: P ∧ Q
, 
set: {x:A| B[x]} 
, 
apply: f a
, 
lambda: λx.A[x]
, 
function: x:A ⟶ B[x]
, 
equal: s = t ∈ T
Definitions unfolded in proof : 
all: ∀x:A. B[x]
, 
uall: ∀[x:A]. B[x]
, 
uimplies: b supposing a
, 
member: t ∈ T
, 
not: ¬A
, 
implies: P 
⇒ Q
, 
false: False
, 
and: P ∧ Q
, 
prop: ℙ
, 
subtype_rel: A ⊆r B
, 
so_lambda: λ2x.t[x]
, 
so_apply: x[s]
, 
decidable: Dec(P)
, 
or: P ∨ Q
, 
exists: ∃x:A. B[x]
, 
assert: ↑b
, 
ifthenelse: if b then t else f fi 
, 
btrue: tt
, 
iff: P 
⇐⇒ Q
, 
rev_implies: P 
⇐ Q
, 
true: True
, 
bfalse: ff
, 
guard: {T}
, 
bool: 𝔹
, 
unit: Unit
, 
it: ⋅
, 
uiff: uiff(P;Q)
, 
cand: A c∧ B
, 
sq_type: SQType(T)
, 
bnot: ¬bb
, 
antecedent-surjection: Q ←⟵ f── P
, 
antecedent-function: Q ⟵─f── P
, 
sq_stable: SqStable(P)
, 
squash: ↓T
Latex:
\mforall{}es:EO
    \mforall{}[A,B,P,Q:E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
        ((\mforall{}e:E.  Dec(P  e))
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:E.  Dec(A  e))
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:E.  Dec(B  e))
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\{e:E|  A  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  P  e\}  .  \mforall{}g:\{e:E|  B  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q  e\}  .
                          (P  \mleftarrow{}\mleftarrow{}{}  f{}{}  A
                          {}\mRightarrow{}  Q  \mleftarrow{}\mleftarrow{}{}  g{}{}  B
                          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}h:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  (P  e)  \mvee{}  (Q  e)\} 
                                    (\mlambda{}e.((P  e)  \mvee{}  (Q  e))  \mleftarrow{}\mleftarrow{}{}  h{}{}  \mlambda{}e.((A  e)  \mvee{}  (B  e))
                                    \mwedge{}  (\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  ((A  e)  {}\mRightarrow{}  ((h  e)  =  (f  e))))
                                    \mwedge{}  (\mforall{}e:\{e:E|  (A  e)  \mvee{}  (B  e)\}  .  (h  e)  =  (g  e)  supposing  \mneg{}(A  e)))))))  supposing 
              ((\mforall{}e:E.  (\mneg{}((P  e)  \mwedge{}  (Q  e))))  and 
              (\mforall{}e:E.  (\mneg{}((A  e)  \mwedge{}  (B  e)))))
Date html generated:
2016_05_16-AM-10_35_59
Last ObjectModification:
2016_01_17-PM-01_33_13
Theory : new!event-ordering
Home
Index