Proof of Nuprl Lemma : Accum-class-progress

Step * of Lemma Accum-class-progress

∀[Info,B,A:Type].

  ∀R:B ⟶ B ⟶ ℙ. ∀P:A ⟶ B ⟶ ℙ. ∀f:A ⟶ B ⟶ B. ∀init:Id ⟶ bag(B). ∀X:EClass(A). ∀es:EO+(Info). ∀e1,e2:E. ∀v1,v2:B.

    ((∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s]))
    ⇒ Trans(B;x,y.R[x;y])
    ⇒ (∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2]))
    ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
          ((e1 <loc e)
          ⇒ e ≤loc e2
          ⇒ a ∈ X(e)
          ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
          ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B)))))
    ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
    ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
    ⇒ v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)
    ⇒ v2 ∈ Accum-class(f;init;X)(e2)
    ⇒ (e1 <loc e2)
    ⇒

 (((∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

       ⇒ R[v1;v2])
       ∧ ((∀e:E. ∀s:B.
             ((e1 <loc e)
             ⇒ e ≤loc e2
             ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
             ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
         ⇒ (v1 = v2 ∈ B))))
BY
{ (RepeatFor 10 ((D 0 THENA Auto))
   THEN VrCausalInd'
   THEN (UnivCD THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (MaUseClassRel'' (-2))
   THEN TrySquashExRepD (-2)
   THEN (Assert ⌜b ∈ Prior(lifting-2(f)|X,Prior(self)?init|)?init(e2)⌝⋅ THENA Trivial)
   THEN MaUseClassRel'' (-4)
   THEN TrySquashExRepD (-4)
   THEN D (-4)
   THEN ExRepD
   THEN All (\h. Try (Fold `Accum-class` h))
   THEN Try (Complete ((Assert ⌜False⌝⋅ THEN Auto)))
   THEN RepUR ``es-p-local-pred`` (-5)
   THEN RepD
   THEN UseLoclTri ⌜es⌝⌜e1⌝⌜e'⌝⋅) }

1
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : B ⟶ B ⟶ ℙ@i'
5. P : A ⟶ B ⟶ ℙ@i'
6. f : A ⟶ B ⟶ B@i
7. init : Id ⟶ bag(B)@i
8. X : EClass(A)@i'
9. es : EO+(Info)@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:B.
            ((∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s]))
            ⇒ Trans(B;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2]))
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e'
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
                  ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B)))))
            ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
            ⇒ v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)
            ⇒ v2 ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃a:A

                    ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

               ⇒ R[v1;v2])
               ∧ ((∀e:E. ∀s:B.
                     ((e1 <loc e)
                     ⇒ e ≤loc e'
                     ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
                     ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
                 ⇒ (v1 = v2 ∈ B))))))
13. v1 : B@i
14. v2 : B@i
15. ∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s])@i
16. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
17. ∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2])@i
18. ∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
      ((e1 <loc e)
      ⇒ e ≤loc e2
      ⇒ a ∈ X(e)
      ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
      ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B))))@i
19. single-valued-classrel(es;X;A)@i
20. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
21. v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)@i
22. a : A
23. b : B
24. v2 = (f a b) ∈ B
25. e' : E
26. (e' <loc e2)
27. ↓∃w:B. w ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
28. ∀e'':E. ((e'' <loc e2) ⇒ (e' <loc e'') ⇒ (¬↓∃w:B. w ∈ Accum-class(f;init;X)(e'')))
29. b ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
30. a ∈ X(e2)
31. (e1 <loc e2)@i
32. b ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e2)
33. (e1 <loc e')

⊢ ((∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:B.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
  ⇒ (v1 = v2 ∈ B))

2
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : B ⟶ B ⟶ ℙ@i'
5. P : A ⟶ B ⟶ ℙ@i'
6. f : A ⟶ B ⟶ B@i
7. init : Id ⟶ bag(B)@i
8. X : EClass(A)@i'
9. es : EO+(Info)@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:B.
            ((∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s]))
            ⇒ Trans(B;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2]))
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e'
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
                  ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B)))))
            ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
            ⇒ v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)
            ⇒ v2 ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃a:A

                    ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⊢ ((∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:B.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
  ⇒ (v1 = v2 ∈ B))

3
1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : B ⟶ B ⟶ ℙ@i'
5. P : A ⟶ B ⟶ ℙ@i'
6. f : A ⟶ B ⟶ B@i
7. init : Id ⟶ bag(B)@i
8. X : EClass(A)@i'
9. es : EO+(Info)@i'
10. e1 : E@i
11. e2 : E@i
12. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:B.
            ((∀a:A. ∀s:B.  Dec(P[a;s]))
            ⇒ Trans(B;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2]))
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E. ∀s:B.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e'
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)
                  ⇒ ((P[a;s] ⇒ R[s;f a s]) ∧ ((¬P[a;s]) ⇒ (s = (f a s) ∈ B)))))
            ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
            ⇒ v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)
            ⇒ v2 ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ (((∃e:E
                   ∃a:A

                    ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e'  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⊢ ((∃e:E. ∃a:A. ∃s:B. ((e1 <loc e) ∧ e ≤loc e2  ∧ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ∧ a ∈ X(e) ∧ P[a;s]))

⇒ R[v1;v2])
∧ ((∀e:E. ∀s:B.
((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2 ⇒ s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ (∀a:A. ((¬a ∈ X(e)) ∨ (¬P[a;s])))))
⇒ (v1 = v2 ∈ B))

Latex:

Latex:
\mforall{}[Info,B,A:Type]. \mforall{}R:B {}\mrightarrow{} B {}\mrightarrow{} \mBbbP{}. \mforall{}P:A {}\mrightarrow{} B {}\mrightarrow{} \mBbbP{}. \mforall{}f:A {}\mrightarrow{} B {}\mrightarrow{} B. \mforall{}init:Id {}\mrightarrow{} bag(B). \mforall{}X:EClass(A). \mforall{}es:EO+(Info). \mforall{}e1,e2:E. \mforall{}v1,v2:B. ((\mforall{}a:A. \mforall{}s:B. Dec(P[a;s])) {}\mRightarrow{} Trans(B;x,y.R[x;y]) {}\mRightarrow{} (\mforall{}s1,s2:B. SqStable(R[s1;s2])) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. \mforall{}e:E. \mforall{}s:B. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} a \mmember{} X(e) {}\mRightarrow{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) {}\mRightarrow{} ((P[a;s] {}\mRightarrow{} R[s;f a s]) \mwedge{} ((\mneg{}P[a;s]) {}\mRightarrow{} (s = (f a s)))))) {}\mRightarrow{} single-valued-classrel(es;X;A) {}\mRightarrow{} single-valued-bag(init loc(e1);B) {}\mRightarrow{} v1 \mmember{} Accum-class(f;init;X)(e1) {}\mRightarrow{} v2 \mmember{} Accum-class(f;init;X)(e2) {}\mRightarrow{} (e1 <loc e2) {}\mRightarrow{} (((\mexists{}e:E \mexists{}a:A \mexists{}s:B ((e1 <loc e) \mwedge{} e \mleq{}loc e2 \mwedge{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) \mwedge{} a \mmember{} X(e) \mwedge{} P[a;s])) {}\mRightarrow{} R[v1;v2]) \mwedge{} ((\mforall{}e:E. \mforall{}s:B. ((e1 <loc e) {}\mRightarrow{} e \mleq{}loc e2 {}\mRightarrow{} s \mmember{} Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) {}\mRightarrow{} (\mforall{}a:A. ((\mneg{}a \mmember{} X(e)) \mvee{} (\mneg{}P[a;s]))))) {}\mRightarrow{} (v1 = v2)))) By Latex: (RepeatFor 10 ((D 0 THENA Auto)) THEN VrCausalInd' THEN (UnivCD THENA Auto) THEN RepeatFor 2 (MaUseClassRel'' (-2)) THEN TrySquashExRepD (-2) THEN (Assert \mkleeneopen{}b \mmember{} Prior(lifting-2(f)|X,Prior(self)?init|)?init(e2)\mkleeneclose{}\mcdot{} THENA Trivial) THEN MaUseClassRel'' (-4) THEN TrySquashExRepD (-4) THEN D (-4) THEN ExRepD THEN All (\mbackslash{}h. Try (Fold `Accum-class` h)) THEN Try (Complete ((Assert \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{} THEN Auto))) THEN RepUR ``es-p-local-pred`` (-5) THEN RepD THEN UseLoclTri \mkleeneopen{}es\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}e'\mkleeneclose{}\mcdot{}) Home Index