---

Step * 1 of Lemma State-comb-es-sv1


1. Info : Type
2. A : Type
3. B : Type
4. es : EO+(Info)
5. f : A ⟶ B ⟶ B
6. X : EClass(A)
7. init : Id ⟶ bag(B)
8. es-sv-class(es;X)
9. ∀l:Id. (#(init l) ≤ 1)
10. bs : k:ℕ1 ⟶ bag(A)@i
11. l : Id@i
12. b : bag(B)@i
13. ∀k:ℕ1. (#(bs k) ≤ 1)@i
14. #(b) ≤ 1@i
15. ¬((bs 0) = {} ∈ bag(A))
⊢ #(⋃x∈bs 0.⋃x@0∈b.{f x x@0}) ≤ 1
BY
{ ((InstHyp [⌜0⌝] (-3)⋅ THENA Auto)
   THEN (Assert ⌜#(bs 0) = 1 ∈ ℤ⌝⋅
         THENA (SupposeNot THEN D (-3) THEN InstLemma `bag-size-zero` [⌜A⌝;⌜bs 0⌝]⋅ THEN MaAuto)
         )
   THEN (FLemma `bag-size-one` [-1] THENA Auto)
   THEN RWO "-1" 0
   THEN (RWO "bag-combine-single-left" 0 THENA (Auto THEN BLemma `single-valued-bag-if-le1` THEN Auto))
   THEN (Assert ⌜(#(b) = 0 ∈ ℤ) ∨ (#(b) = 1 ∈ ℤ)⌝⋅ THENA Auto')
   THEN D (-1)) }

1
1. Info : Type
2. A : Type
3. B : Type
4. es : EO+(Info)
5. f : A ⟶ B ⟶ B
6. X : EClass(A)
7. init : Id ⟶ bag(B)
8. es-sv-class(es;X)
9. ∀l:Id. (#(init l) ≤ 1)
10. bs : k:ℕ1 ⟶ bag(A)@i
11. l : Id@i
12. b : bag(B)@i
13. ∀k:ℕ1. (#(bs k) ≤ 1)@i
14. #(b) ≤ 1@i
15. ¬((bs 0) = {} ∈ bag(A))
16. #(bs 0) ≤ 1
17. #(bs 0) = 1 ∈ ℤ
18. bs 0 ~ {only(bs 0)}
19. #(b) = 0 ∈ ℤ
⊢ #(⋃x@0∈b.{f only(bs 0) x@0}) ≤ 1

2
1. Info : Type
2. A : Type
3. B : Type
4. es : EO+(Info)
5. f : A ⟶ B ⟶ B
6. X : EClass(A)
7. init : Id ⟶ bag(B)
8. es-sv-class(es;X)
9. ∀l:Id. (#(init l) ≤ 1)
10. bs : k:ℕ1 ⟶ bag(A)@i
11. l : Id@i
12. b : bag(B)@i
13. ∀k:ℕ1. (#(bs k) ≤ 1)@i
14. #(b) ≤ 1@i
15. ¬((bs 0) = {} ∈ bag(A))
16. #(bs 0) ≤ 1
17. #(bs 0) = 1 ∈ ℤ
18. bs 0 ~ {only(bs 0)}
19. #(b) = 1 ∈ ℤ
⊢ #(⋃x@0∈b.{f only(bs 0) x@0}) ≤ 1

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  A  :  Type
3.  B  :  Type
4.  es  :  EO+(Info)
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B
6.  X  :  EClass(A)
7.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
8.  es-sv-class(es;X)
9.  \mforall{}l:Id.  (\#(init  l)  \mleq{}  1)
10.  bs  :  k:\mBbbN{}1  {}\mrightarrow{}  bag(A)@i
11.  l  :  Id@i
12.  b  :  bag(B)@i
13.  \mforall{}k:\mBbbN{}1.  (\#(bs  k)  \mleq{}  1)@i
14.  \#(b)  \mleq{}  1@i
15.  \mneg{}((bs  0)  =  \{\})
\mvdash{}  \#(\mcup{}x\mmember{}bs  0.\mcup{}x@0\mmember{}b.\{f  x  x@0\})  \mleq{}  1


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}0\mkleeneclose{}]  (-3)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}\#(bs  0)  =  1\mkleeneclose{}\mcdot{}
              THENA  (SupposeNot  THEN  D  (-3)  THEN  InstLemma  `bag-size-zero`  [\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}bs  0\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  MaAuto)
              )
  THEN  (FLemma  `bag-size-one`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  (RWO  "bag-combine-single-left"  0
              THENA  (Auto  THEN  BLemma  `single-valued-bag-if-le1`  THEN  Auto)
              )
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}(\#(b)  =  0)  \mvee{}  (\#(b)  =  1)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  D  (-1))

---

Home Index