---

Step * 1 of Lemma fpf-decompose


1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ⟶ Type
4. f : a:A fp-> B[a]@i
5. ||fpf-domain(f)|| ≥ 1 
6. 0 < ||fpf-domain(f)||
7. fp : a:A fp-> B[a]
8. fnp : a:A fp-> B[a]
9. f ⊆ fp ⊕ fnp
10. fp ⊕ fnp ⊆ f
11. ∀a:A. ↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fp)
12. ∀a:A. ¬↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fnp)
13. fpf-domain(fp) ⊆ fpf-domain(f)
14. fpf-domain(fnp) ⊆ fpf-domain(f)
15. ↑hd(fpf-domain(f)) ∈ dom(f)
⊢ (f ⊆ fp ⊕ hd(fpf-domain(f)) : f(hd(fpf-domain(f))) ∧ fp ⊕ hd(fpf-domain(f)) : f(hd(fpf-domain(f))) ⊆ f)
∧ (∀a':A. ¬(a' = hd(fpf-domain(f)) ∈ A) supposing ↑a' ∈ dom(fp))
∧ ||fpf-domain(fp)|| < ||fpf-domain(f)||
BY
{ D 0 }

1
1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ⟶ Type
4. f : a:A fp-> B[a]@i
5. ||fpf-domain(f)|| ≥ 1 
6. 0 < ||fpf-domain(f)||
7. fp : a:A fp-> B[a]
8. fnp : a:A fp-> B[a]
9. f ⊆ fp ⊕ fnp
10. fp ⊕ fnp ⊆ f
11. ∀a:A. ↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fp)
12. ∀a:A. ¬↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fnp)
13. fpf-domain(fp) ⊆ fpf-domain(f)
14. fpf-domain(fnp) ⊆ fpf-domain(f)
15. ↑hd(fpf-domain(f)) ∈ dom(f)
⊢ f ⊆ fp ⊕ hd(fpf-domain(f)) : f(hd(fpf-domain(f))) ∧ fp ⊕ hd(fpf-domain(f)) : f(hd(fpf-domain(f))) ⊆ f

2
1. [A] : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. [B] : A ⟶ Type
4. f : a:A fp-> B[a]@i
5. ||fpf-domain(f)|| ≥ 1 
6. 0 < ||fpf-domain(f)||
7. fp : a:A fp-> B[a]
8. fnp : a:A fp-> B[a]
9. f ⊆ fp ⊕ fnp
10. fp ⊕ fnp ⊆ f
11. ∀a:A. ↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fp)
12. ∀a:A. ¬↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fnp)
13. fpf-domain(fp) ⊆ fpf-domain(f)
14. fpf-domain(fnp) ⊆ fpf-domain(f)
15. ↑hd(fpf-domain(f)) ∈ dom(f)
⊢ (∀a':A. ¬(a' = hd(fpf-domain(f)) ∈ A) supposing ↑a' ∈ dom(fp)) ∧ ||fpf-domain(fp)|| < ||fpf-domain(f)||

---

Latex:

---

Latex:

1.  [A]  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(A)@i
3.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  f  :  a:A  fp->  B[a]@i
5.  ||fpf-domain(f)||  \mgeq{}  1 
6.  0  <  ||fpf-domain(f)||
7.  fp  :  a:A  fp->  B[a]
8.  fnp  :  a:A  fp->  B[a]
9.  f  \msubseteq{}  fp  \moplus{}  fnp
10.  fp  \moplus{}  fnp  \msubseteq{}  f
11.  \mforall{}a:A.  \muparrow{}\mneg{}\msubb{}(eqof(eq)  a  hd(fpf-domain(f)))  supposing  \muparrow{}a  \mmember{}  dom(fp)
12.  \mforall{}a:A.  \mneg{}\muparrow{}\mneg{}\msubb{}(eqof(eq)  a  hd(fpf-domain(f)))  supposing  \muparrow{}a  \mmember{}  dom(fnp)
13.  fpf-domain(fp)  \msubseteq{}  fpf-domain(f)
14.  fpf-domain(fnp)  \msubseteq{}  fpf-domain(f)
15.  \muparrow{}hd(fpf-domain(f))  \mmember{}  dom(f)
\mvdash{}  (f  \msubseteq{}  fp  \moplus{}  hd(fpf-domain(f))  :  f(hd(fpf-domain(f)))
    \mwedge{}  fp  \moplus{}  hd(fpf-domain(f))  :  f(hd(fpf-domain(f)))  \msubseteq{}  f)
\mwedge{}  (\mforall{}a':A.  \mneg{}(a'  =  hd(fpf-domain(f)))  supposing  \muparrow{}a'  \mmember{}  dom(fp))
\mwedge{}  ||fpf-domain(fp)||  <  ||fpf-domain(f)||


By

---

Latex:
D  0

---

Home Index