---

Step * 1 of Lemma global-order-pairwise-compat-invariant

.....assertion..... 
1. [Info] : Type
2. [P] : Id ⟶ Info List+ ⟶ ℙ
3. [R] : Id ⟶ Id ⟶ Info List+ ⟶ Info List+ ⟶ ℙ
4. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) ∈ EO+(Info) ⟶ ℙ
⊢ ∀LL:(Id × Info) List List
    ((∀L1,L2∈LL.  L1 || L2)
    ⇒ (∀L∈LL.causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L))
    ⇒ (∃G:(Id × Info) List
         ((∀L':(Id × Info) List. ((∀L∈LL.L || L') ⇒ G || L'))
         ∧ (causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(G))
         ∧ (∀L∈LL.∃f:E ⟶ E. es-local-embedding(Info;global-eo(L);global-eo(G);f)))))
BY
{ (InductionOnList THEN Auto) }

1
1. [Info] : Type
2. [P] : Id ⟶ Info List+ ⟶ ℙ
3. [R] : Id ⟶ Id ⟶ Info List+ ⟶ Info List+ ⟶ ℙ
4. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) ∈ EO+(Info) ⟶ ℙ
5. (∀L1,L2∈[].  L1 || L2)@i'
6. (∀L∈[].causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L))@i
⊢ ∃G:(Id × Info) List
   ((∀L':(Id × Info) List. ((∀L∈[].L || L') ⇒ G || L'))
   ∧ (causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(G))
   ∧ (∀L∈[].∃f:E ⟶ E. es-local-embedding(Info;global-eo(L);global-eo(G);f)))

2
1. [Info] : Type
2. [P] : Id ⟶ Info List+ ⟶ ℙ
3. [R] : Id ⟶ Id ⟶ Info List+ ⟶ Info List+ ⟶ ℙ
4. causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) ∈ EO+(Info) ⟶ ℙ
5. u : (Id × Info) List@i
6. v : (Id × Info) List List@i
7. (∀L1,L2∈v.  L1 || L2)
⇒ (∀L∈v.causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L))
⇒ (∃G:(Id × Info) List
     ((∀L':(Id × Info) List. ((∀L∈v.L || L') ⇒ G || L'))
     ∧ (causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(G))
     ∧ (∀L∈v.∃f:E ⟶ E. es-local-embedding(Info;global-eo(L);global-eo(G);f))))@i'
8. (∀L1,L2∈[u / v].  L1 || L2)@i'
9. (∀L∈[u / v].causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(L))@i
⊢ ∃G:(Id × Info) List
   ((∀L':(Id × Info) List. ((∀L∈[u / v].L || L') ⇒ G || L'))
   ∧ (causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2]) global-eo(G))
   ∧ (∀L∈[u / v].∃f:E ⟶ E. es-local-embedding(Info;global-eo(L);global-eo(G);f)))

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  [Info]  :  Type
2.  [P]  :  Id  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  [R]  :  Id  {}\mrightarrow{}  Id  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  Info  List\msupplus{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2])  \mmember{}  EO+(Info)  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
\mvdash{}  \mforall{}LL:(Id  \mtimes{}  Info)  List  List
        ((\mforall{}L1,L2\mmember{}LL.    L1  ||  L2)
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}L\mmember{}LL.causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2])  global-eo(L))
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}G:(Id  \mtimes{}  Info)  List
                  ((\mforall{}L':(Id  \mtimes{}  Info)  List.  ((\mforall{}L\mmember{}LL.L  ||  L')  {}\mRightarrow{}  G  ||  L'))
                  \mwedge{}  (causal-invariant(i,L.P[i;L];a,b,L1,L2.R[a;b;L1;L2])  global-eo(G))
                  \mwedge{}  (\mforall{}L\mmember{}LL.\mexists{}f:E  {}\mrightarrow{}  E.  es-local-embedding(Info;global-eo(L);global-eo(G);f)))))


By

---

Latex:
(InductionOnList  THEN  Auto)

---

Home Index