---

Step * of Lemma weak-antecedent-surjection-conditional

∀es:EO
  ∀[P1,Q1,P2,Q2:E ⟶ ℙ].
    ∀dcd_P1:e:E ⟶ Dec(P1 e). ∀f:{e:E| P1 e}  ⟶ {e:E| Q1 e} . ∀g:{e:E| P2 e}  ⟶ {e:E| Q2 e} .
      (∀e:E. Dec(Q1 e))
      ⇒ (∀e:E. Dec(Q2 e))
      ⇒ Q1 ←←= f== P1
      ⇒ Q2 ←←= g== P2
      ⇒ λe.((Q1 e) ∨ (Q2 e)) ←←= [P1? f : g]== λe.((P1 e) ∨ (P2 e)) 
      supposing ∀e:E. ((P1 e) ⇒ (¬(P2 e)))
BY
{ (Auto THEN All (Unfold `weak-antecedent-surjection`) THEN SplitAndHyps THEN D 0) }

1
1. es : EO@i'
2. [P1] : E ⟶ ℙ
3. [Q1] : E ⟶ ℙ
4. [P2] : E ⟶ ℙ
5. [Q2] : E ⟶ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ⟶ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ⟶ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ⟶ {e:E| Q2 e} @i
9. ∀e:E. ((P1 e) ⇒ (¬(P2 e)))
10. ∀e:E. Dec(Q1 e)@i
11. ∀e:E. Dec(Q2 e)@i
12. Q1 ←==f== P1@i
13. ∀e:{e:E| Q1 e} . ∃e':{e:E| P1 e} . ((f e') = e ∈ E)@i
14. Q2 ←==g== P2@i
15. ∀e:{e:E| Q2 e} . ∃e':{e:E| P2 e} . ((g e') = e ∈ E)@i
⊢ λe.((Q1 e) ∨ (Q2 e)) ←==[P1? f : g]== λe.((P1 e) ∨ (P2 e))

2
1. es : EO@i'
2. [P1] : E ⟶ ℙ
3. [Q1] : E ⟶ ℙ
4. [P2] : E ⟶ ℙ
5. [Q2] : E ⟶ ℙ
6. dcd_P1 : e:E ⟶ Dec(P1 e)@i
7. f : {e:E| P1 e}  ⟶ {e:E| Q1 e} @i
8. g : {e:E| P2 e}  ⟶ {e:E| Q2 e} @i
9. ∀e:E. ((P1 e) ⇒ (¬(P2 e)))
10. ∀e:E. Dec(Q1 e)@i
11. ∀e:E. Dec(Q2 e)@i
12. Q1 ←==f== P1@i
13. ∀e:{e:E| Q1 e} . ∃e':{e:E| P1 e} . ((f e') = e ∈ E)@i
14. Q2 ←==g== P2@i
15. ∀e:{e:E| Q2 e} . ∃e':{e:E| P2 e} . ((g e') = e ∈ E)@i
⊢ ∀e:{e:E| (λe.((Q1 e) ∨ (Q2 e))) e} . ∃e':{e:E| (λe.((P1 e) ∨ (P2 e))) e} . (([P1? f : g] e') = e ∈ E)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}es:EO
    \mforall{}[P1,Q1,P2,Q2:E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
        \mforall{}dcd$_{P1}$:e:E  {}\mrightarrow{}  Dec(P1  e).  \mforall{}f:\{e:E|  P1  e\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q1  e\}  .  \mforall{}g:\{e:E|  P2  e\000C\}    {}\mrightarrow{}  \{e:E|  Q2  e\}  .
            (\mforall{}e:E.  Dec(Q1  e))
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:E.  Dec(Q2  e))
            {}\mRightarrow{}  Q1  \mleftarrow{}\mleftarrow{}=  f==  P1
            {}\mRightarrow{}  Q2  \mleftarrow{}\mleftarrow{}=  g==  P2
            {}\mRightarrow{}  \mlambda{}e.((Q1  e)  \mvee{}  (Q2  e))  \mleftarrow{}\mleftarrow{}=  [P1?  f  :  g]==  \mlambda{}e.((P1  e)  \mvee{}  (P2  e)) 
            supposing  \mforall{}e:E.  ((P1  e)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(P2  e)))


By

---

Latex:
(Auto  THEN  All  (Unfold  `weak-antecedent-surjection`)  THEN  SplitAndHyps  THEN  D  0)

---

Home Index