---

Step * of Lemma pv11_p1_adopted_prior

∀Cmd:ValueAllType. ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀e:E. ∀ldrs_uid:Id ⟶ ℤ.
∀bnum:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀active:𝔹. ∀proposals:(ℤ × Cmd) List. ∀pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List.
∀b':pv11_p1_Ballot_Num(). ∀s:ℤ. ∀c,c':Cmd.
  ((¬↑first(e))
  ⇒ <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e)
  ⇒ (<s, c> ∈ proposals)
  ⇒ <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
  ⇒ (<b', s, c'> ∈ pvals)
  ⇒ (↓∃b:pv11_p1_Ballot_Num(). ((<b, s, c> ∈ pvals) ∧ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) b' b)))))
BY
{ StartEmlProof }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
15. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
16. active : 𝔹@i
17. proposals : (ℤ × Cmd) List@i
18. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
19. b' : pv11_p1_Ballot_Num()@i
20. s : ℤ@i
21. c : Cmd@i
22. c' : Cmd@i
23. ¬↑first(e)@i
24. <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e)@i
25. (<s, c> ∈ proposals)@i
26. <bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))@i
27. (<b', s, c'> ∈ pvals)@i
⊢ ↓∃b:pv11_p1_Ballot_Num(). ((<b, s, c> ∈ pvals) ∧ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) b' b)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}Cmd:ValueAllType.  \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e:E.  \mforall{}ldrs$_\mbackslash{}ff7\000Cbuid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.
\mforall{}bnum:pv11\_p1\_Ballot\_Num().  \mforall{}active:\mBbbB{}.  \mforall{}proposals:(\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List.  \mforall{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                                                                                                                                                  \mtimes{}  \mBbbZ{}
                                                                                                                                                  \mtimes{}  Cmd)  List.
\mforall{}b':pv11\_p1\_Ballot\_Num().  \mforall{}s:\mBbbZ{}.  \mforall{}c,c':Cmd.
    ((\mneg{}\muparrow{}first(e))
    {}\mRightarrow{}  <bnum,  active,  proposals>  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e)
    {}\mRightarrow{}  (<s,  c>  \mmember{}  proposals)
    {}\mRightarrow{}  <bnum,  pvals>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(pred(e))
    {}\mRightarrow{}  (<b',  s,  c'>  \mmember{}  pvals)
    {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}b:pv11\_p1\_Ballot\_Num().  ((<b,  s,  c>  \mmember{}  pvals)  \mwedge{}  (\muparrow{}(pv11\_p1\_leq\_bnum(ldrs$_{uid\mbackslash{}ff\000C7d$)  b'  b)))))


By

---

Latex:
StartEmlProof

---

Home Index