---

Step * of Lemma pv11_p1_ldr_fun_proposal3

∀Cmd:ValueAllType. ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀e:E. ∀ldrs_uid:Id ⟶ ℤ. ∀s:ℤ. ∀c:Cmd.
  ((<s, c> ∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))))
  ⇒ (∃e':E
       ((e' <loc e)
       ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ (<s, c> ∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e''))))))
       ∧ ((<s, c> ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f)(e')
         ∧ (¬↑(pv11_p1_in_domain(Cmd) s (snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))))))
         ∨ (∃pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List
             ∃b:pv11_p1_Ballot_Num()
              (<fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')), pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e')
              ∧ (<b, s, c> ∈ pvals)
              ∧ (∀b':pv11_p1_Ballot_Num(). ∀c':Cmd.
                   ((<b', s, c'> ∈ pvals) ⇒ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) b' b))))))))))
BY
{ (StartEmlProof
   THEN (InstLemma `pv11_p1_ldr_proposal3` [⌜Cmd⌝;⌜f⌝;⌜es⌝;⌜e⌝;⌜ldrs_uid⌝;⌜pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)⌝;
         ⌜s⌝;⌜c⌝]⋅
         THENA (Auto THEN BLemma `pv11_p1_LeaderState-classrel` THEN Auto)
         )
   THEN ExRepD
   THEN InstConcl [⌜e'⌝]⋅
   THEN Auto) }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
15. s : ℤ@i
16. c : Cmd@i
17. (<s, c> ∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))))@i
18. e' : E
19. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()
20. active : 𝔹
21. proposals : (ℤ × Cmd) List
22. (e' <loc e)
23. <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e')
24. ∀e'':E. ∀x:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List).
      ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ x ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e'') ⇒ (<s, c> ∈ snd(snd(x))))
25. (<s, c> ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f)(e') ∧ (¬↑(pv11_p1_in_domain(Cmd) s proposals)))
∨ (∃pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List
    ∃b:pv11_p1_Ballot_Num()
     (<bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e')
     ∧ (<b, s, c> ∈ pvals)
     ∧ (∀b':pv11_p1_Ballot_Num(). ∀c':Cmd.  ((<b', s, c'> ∈ pvals) ⇒ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) b' b))))))
26. (e' <loc e)
27. e'' : E@i
28. (e' <loc e'')@i
29. e'' ≤loc e @i
⊢ (<s, c> ∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e''))))

2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
15. s : ℤ@i
16. c : Cmd@i
17. (<s, c> ∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))))@i
18. e' : E
19. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()
20. active : 𝔹
21. proposals : (ℤ × Cmd) List
22. (e' <loc e)
23. <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e')
24. ∀e'':E. ∀x:pv11_p1_Ballot_Num() × 𝔹 × ((ℤ × Cmd) List).
      ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ x ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e'') ⇒ (<s, c> ∈ snd(snd(x))))
25. (<s, c> ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f)(e') ∧ (¬↑(pv11_p1_in_domain(Cmd) s proposals)))
∨ (∃pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List
    ∃b:pv11_p1_Ballot_Num()
     (<bnum, pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e')
     ∧ (<b, s, c> ∈ pvals)
     ∧ (∀b':pv11_p1_Ballot_Num(). ∀c':Cmd.  ((<b', s, c'> ∈ pvals) ⇒ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) b' b))))))
26. (e' <loc e)
27. ∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc e  ⇒ (<s, c> ∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e'')))))
⊢ (<s, c> ∈ pv11_p1_propose'base(Cmd;f)(e')
∧ (¬↑(pv11_p1_in_domain(Cmd) s (snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')))))))
∨ (∃pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List
    ∃b:pv11_p1_Ballot_Num()
     (<fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e')), pvals> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e')
     ∧ (<b, s, c> ∈ pvals)
     ∧ (∀b':pv11_p1_Ballot_Num(). ∀c':Cmd.  ((<b', s, c'> ∈ pvals) ⇒ (↑(pv11_p1_leq_bnum(ldrs_uid) b' b))))))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}Cmd:ValueAllType.  \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e:E.  \mforall{}ldrs$_\mbackslash{}ff7\000Cbuid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.
\mforall{}s:\mBbbZ{}.  \mforall{}c:Cmd.
    ((<s,  c>  \mmember{}  snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e))))
    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E
              ((e'  <loc  e)
              \mwedge{}  (\mforall{}e'':E
                        ((e'  <loc  e'')
                        {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  e 
                        {}\mRightarrow{}  (<s,  c>  \mmember{}  snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e'\000C'))))))
              \mwedge{}  ((<s,  c>  \mmember{}  pv11\_p1\_propose'base(Cmd;f)(e')
                  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}(pv11\_p1\_in\_domain(Cmd)  s  (snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid\mbackslash{}f\000Cf7d$;f;es;e')))))))
                  \mvee{}  (\mexists{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List
                          \mexists{}b:pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                            (<fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e')),  pvals>  \mmember{}
                                pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e')
                            \mwedge{}  (<b,  s,  c>  \mmember{}  pvals)
                            \mwedge{}  (\mforall{}b':pv11\_p1\_Ballot\_Num().  \mforall{}c':Cmd.
                                      ((<b',  s,  c'>  \mmember{}  pvals)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}(pv11\_p1\_leq\_bnum(ldrs$_{uid}$)  b\000C'  b))))))))))


By

---

Latex:
(StartEmlProof
  THEN  (InstLemma  `pv11\_p1\_ldr\_proposal3`  [\mkleeneopen{}Cmd\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}ldrs$_{uid}$\mkleeneclose{};
              \mkleeneopen{}pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}s\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  BLemma  `pv11\_p1\_LeaderState-classrel`  THEN  Auto)
              )
  THEN  ExRepD
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}e'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index