---

Step * of Lemma pv11_p1_ldr_state_adopted_pred

∀Cmd:ValueAllType. ∀f:pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd). ∀es:EO+(Message(f)). ∀e1,e2:E. ∀ldrs_uid:Id ⟶ ℤ.
∀bnum:pv11_p1_Ballot_Num(). ∀active:𝔹. ∀proposals:(ℤ × Cmd) List. ∀pvals:(pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List.
  ((e1 <loc e2)
  ⇒ <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e1)
  ⇒ (header(e1) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
  ⇒ (<bnum, pvals> = msgval(e1) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)))
  ⇒ (∃e:{e:E| ¬↑first(e)} 
       ((e1 = pred(e) ∈ E)
       ∧ e ≤loc e2 
       ∧ <bnum, tt, pv11_p1_update_proposals(Cmd) proposals (pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) pvals)> ∈
          pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e))))
BY
{ (StartEmlProof
   THEN (InstLemma `es-pred-exists-between2` [⌜parm{i'}⌝;⌜es⌝;⌜e1⌝;⌜e2⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (InstConcl [⌜e⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Auto) }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
16. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
17. active : 𝔹@i
18. proposals : (ℤ × Cmd) List@i
19. pvals : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
20. (e1 <loc e2)@i
21. <bnum, active, proposals> ∈ pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e1)@i
22. header(e1) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name@i
23. <bnum, pvals> = msgval(e1) ∈ (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))@i
24. e : {e:E| ¬↑first(e)} 
25. e1 = pred(e) ∈ E
26. e ≤loc e2 
27. e1 = pred(e) ∈ E
28. e ≤loc e2 
⊢ <bnum, tt, pv11_p1_update_proposals(Cmd) proposals (pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) pvals)> ∈
   pv11_p1_LeaderState(Cmd;ldrs_uid;f)(e)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}Cmd:ValueAllType.  \mforall{}f:pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd).  \mforall{}es:EO+(Message(f)).  \mforall{}e1,e2:E.
\mforall{}ldrs$_{uid}$:Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}.  \mforall{}bnum:pv11\_p1\_Ballot\_Num().  \mforall{}active:\mBbbB{}.  \mforall{}proposals:(\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cm\000Cd)  List.
\mforall{}pvals:(pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List.
    ((e1  <loc  e2)
    {}\mRightarrow{}  <bnum,  active,  proposals>  \mmember{}  pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e1)
    {}\mRightarrow{}  (header(e1)  =  ``pv11\_p1  adopted``)
    {}\mRightarrow{}  (<bnum,  pvals>  =  msgval(e1))
    {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e:\{e:E|  \mneg{}\muparrow{}first(e)\} 
              ((e1  =  pred(e))
              \mwedge{}  e  \mleq{}loc  e2 
              \mwedge{}  <bnum,  tt,  pv11\_p1\_update\_proposals(Cmd)  proposals  (pv11\_p1\_pmax(Cmd;ldrs$_{uid\000C}$)  pvals)>  \mmember{}
                    pv11\_p1\_LeaderState(Cmd;ldrs$_{uid}$;f)(e))))


By

---

Latex:
(StartEmlProof
  THEN  (InstLemma  `es-pred-exists-between2`  [\mkleeneopen{}parm\{i'\}\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Auto)

---

Home Index