---

Step * 1 of Lemma pv11_p1_unique_adopted_fun2


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. accpts : bag(Id)@i
16. ldrs : bag(Id)@i
17. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
18. reps : bag(Id)@i
19. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
20. pvals1 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
21. pvals2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
22. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
23. <bnum, pvals1> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e1)@i
24. <bnum, pvals2> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e2)@i
25. bnum = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
26. bnum = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e2))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
27. loc(e1) = loc(e2) ∈ Id@i
⊢ pvals1 = pvals2 ∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)
BY
{ UseLoclTri ⌜es⌝⌜e1⌝⌜e2⌝⋅ }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. accpts : bag(Id)@i
16. ldrs : bag(Id)@i
17. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
18. reps : bag(Id)@i
19. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
20. pvals1 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
21. pvals2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
22. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
23. <bnum, pvals1> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e1)@i
24. <bnum, pvals2> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e2)@i
25. bnum = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
26. bnum = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e2))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
27. loc(e1) = loc(e2) ∈ Id@i
28. (e1 <loc e2)
⊢ pvals1 = pvals2 ∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)

2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. accpts : bag(Id)@i
16. ldrs : bag(Id)@i
17. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
18. reps : bag(Id)@i
19. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
20. pvals1 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
21. pvals2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
22. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
23. <bnum, pvals1> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e1)@i
24. <bnum, pvals2> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e2)@i
25. bnum = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
26. bnum = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e2))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
27. loc(e1) = loc(e2) ∈ Id@i
28. e1 = e2 ∈ E
⊢ pvals1 = pvals2 ∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)

3
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ⟶ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e1 : E@i
14. e2 : E@i
15. accpts : bag(Id)@i
16. ldrs : bag(Id)@i
17. ldrs_uid : Id ⟶ ℤ@i
18. reps : bag(Id)@i
19. bnum : pv11_p1_Ballot_Num()@i
20. pvals1 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
21. pvals2 : (pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List@i
22. pv11_p1_message-constraint{paxos-v11-part1.esh:o}(Cmd; accpts; ldrs; ldrs_uid; reps; f; es)@i
23. <bnum, pvals1> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e1)@i
24. <bnum, pvals2> ∈ pv11_p1_adopted'base(Cmd;f)(e2)@i
25. bnum = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e1))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
26. bnum = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e2))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()@i
27. loc(e1) = loc(e2) ∈ Id@i
28. (e2 <loc e1)
⊢ pvals1 = pvals2 ∈ ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e1  :  E@i
14.  e2  :  E@i
15.  accpts  :  bag(Id)@i
16.  ldrs  :  bag(Id)@i
17.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
18.  reps  :  bag(Id)@i
19.  bnum  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
20.  pvals1  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
21.  pvals2  :  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List@i
22.  pv11\_p1\_message-constraint\{paxos-v11-part1.esh:o\}(Cmd;  accpts;  ldrs;  ldrs$_{uid}\000C$;  reps;  f;  es)@i
23.  <bnum,  pvals1>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e1)@i
24.  <bnum,  pvals2>  \mmember{}  pv11\_p1\_adopted'base(Cmd;f)(e2)@i
25.  bnum  =  (fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e1)))@i
26.  bnum  =  (fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e2)))@i
27.  loc(e1)  =  loc(e2)@i
\mvdash{}  pvals1  =  pvals2


By

---

Latex:
UseLoclTri  \mkleeneopen{}es\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{}\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index