---

Step * 1 1 1 of Lemma loop-class-memory-program_wf


1. Info : Type
2. B : Type
3. valueall-type(B)
4. X : EClass(B ─→ B)
5. init : Id ─→ bag(B)
6. pr : Id ─→ hdataflow(Info;B ─→ B)
7. ∀es:EO+(Info). ∀e:E.  (X(e) = (snd(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(e)))(info(e)))) ∈ bag(B ─→ B))
8. es : EO+(Info)@i'
9. e : E@i
10. ∀e1:E
      ((e1 < e)
      ⇒ (hdf-memory(pr loc(e1);init loc(e1))*(map(λx.info(x);before(e1)))
         = hdf-memory(pr loc(e1)*(map(λx.info(x);before(e1)));loop-class-memory(X;init)(e1))
         ∈ hdataflow(Info;B)))
11. ¬↑first(e)
12. ↑pred(e) ∈b X
13. ¬↑first(e)
14. hdf-memory(pr loc(e);init loc(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e))))
= hdf-memory(pr loc(e)*(map(λx.info(x);before(pred(e))));loop-class-memory(X;init)(pred(e)))
∈ hdataflow(Info;B)
15. v1 : bag(B)@i
16. loop-class-memory(X;init)(pred(e)) = v1 ∈ bag(B)@i
17. x : Info ─→ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
18. z1 : hdataflow(Info;B ─→ B)@i
19. z2 : bag(B ─→ B)@i
20. (x info(pred(e))) = <z1, z2> ∈ (hdataflow(Info;B ─→ B) × bag(B ─→ B))@i
21. pr loc(pred(e))*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = (inl x) ∈ hdataflow(Info;B ─→ B)@i
22. ∪f∈z2.bag-map(f;v1) = {} ∈ bag(B)
⊢ v1 = ∪f∈z2.bag-map(f;v1) ∈ bag(B)
BY
{ (RepUR ``member-eclass`` (-11)
   THEN Fold `class-ap` (-11)
   THEN (RW assert_pushdownC (-11) THENA Auto)
   THEN (RWO "7" (-11) THENA Auto)
   THEN (HypSubst' (-2) (-11) THENA Auto)
   THEN RepUR ``hdf-ap`` (-1)
   THEN (HypSubst' (-4) (-1) THENA Auto)
   THEN Reduce (-1)
   THEN (RWO "assert-bag-null<" (-2) THENA Auto)
   THEN (RWO "bag-combine-null" (-2) THENA Auto)
   THEN (Assert ⌈0 < #(z2)⌉⋅ THENA Auto')
   THEN (RWO "bag-member-iff-size<" (-1) THENA Auto)
   THEN SquashExRepD
   THEN (FHyp (-4) [-1] THENA Auto)
   THEN RepUR ``bag-null`` (-1)
   THEN (RWO "bag-map-null" (-1) THENA Auto)
   THEN Fold `bag-null` (-1)
   THEN (RWO "assert-bag-null" (-1) THENA Auto)
   THEN (RWO "-1" 0 THENA Auto)
   THEN Reduce 0
   THEN RWO "bag-combine-empty-right" 0
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  valueall-type(B)
4.  X  :  EClass(B  {}\mrightarrow{}  B)
5.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)
6.  pr  :  Id  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)
7.  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e:E.    (X(e)  =  (snd(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e)))(info(e)))))
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  e  :  E@i
10.  \mforall{}e1:E
            ((e1  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (hdf-memory(pr  loc(e1);init  loc(e1))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                  =  hdf-memory(pr  loc(e1)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)));loop-class-memory(X;init)(e1))))
11.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
12.  \muparrow{}pred(e)  \mmember{}\msubb{}  X
13.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
14.  hdf-memory(pr  loc(e);init  loc(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))
=  hdf-memory(pr  loc(e)*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))));loop-class-memory(X;init)(pred(e)))
15.  v1  :  bag(B)@i
16.  loop-class-memory(X;init)(pred(e))  =  v1@i
17.  x  :  Info  {}\mrightarrow{}  (hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)  \mtimes{}  bag(B  {}\mrightarrow{}  B))@i
18.  z1  :  hdataflow(Info;B  {}\mrightarrow{}  B)@i
19.  z2  :  bag(B  {}\mrightarrow{}  B)@i
20.  (x  info(pred(e)))  =  <z1,  z2>@i
21.  pr  loc(pred(e))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))  =  (inl  x)@i
22.  \mcup{}f\mmember{}z2.bag-map(f;v1)  =  \{\}
\mvdash{}  v1  =  \mcup{}f\mmember{}z2.bag-map(f;v1)


By

---

Latex:
(RepUR  ``member-eclass``  (-11)
  THEN  Fold  `class-ap`  (-11)
  THEN  (RW  assert\_pushdownC  (-11)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "7"  (-11)  THENA  Auto)
  THEN  (HypSubst'  (-2)  (-11)  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``hdf-ap``  (-1)
  THEN  (HypSubst'  (-4)  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  (-1)
  THEN  (RWO  "assert-bag-null<"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "bag-combine-null"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mkleeneopen{}0  <  \#(z2)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto')
  THEN  (RWO  "bag-member-iff-size<"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  SquashExRepD
  THEN  (FHyp  (-4)  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``bag-null``  (-1)
  THEN  (RWO  "bag-map-null"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  Fold  `bag-null`  (-1)
  THEN  (RWO  "assert-bag-null"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "-1"  0  THENA  Auto)
  THEN  Reduce  0
  THEN  RWO  "bag-combine-empty-right"  0
  THEN  Auto)

---

Home Index