---

Step * 1 1 of Lemma pv11_p1_bnum_p2a


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} @i'
2. f : pv11_p1_headers_type{i:l}(Cmd)@i'
3. (f [decision]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
4. (f [propose]) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
5. (f ``pv11_p1 adopted``) = (pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)) ∈ Type
6. (f ``pv11_p1 preempted``) = pv11_p1_Ballot_Num() ∈ Type
7. (f ``pv11_p1 p2b``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
8. (f ``pv11_p1 p2a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) ∈ Type
9. (f ``pv11_p1 p1b``)
= (Id × pv11_p1_Ballot_Num() × pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List))
∈ Type
10. (f ``pv11_p1 p1a``) = (Id × pv11_p1_Ballot_Num()) ∈ Type
11. f ∈ Name ─→ Type
12. es : EO+(Message(f))@i'
13. e : E@i
14. ldrs_uid : Id ─→ ℤ@i
15. accpts : bag(Id)@i
16. ldrs : bag(Id)@i
17. reps : bag(Id)@i
18. b : pv11_p1_Ballot_Num()@i
19. i : Id@i
20. l : Id@i
21. s : ℤ@i
22. c : Cmd@i
23. loc(e) ↓∈ ldrs
24. i ↓∈ accpts
25. 0 = 0 ∈ ℤ
26. ff = pv11_p1_init_active()
27. l = loc(e) ∈ Id
28. [%] : (((header(e) = [propose] ∈ Name) ∧ has-es-info-type(es;e;f;ℤ × Cmd))
∧ ((↑(fst(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))))
  ∧ (¬↑(pv11_p1_in_domain(Cmd) (fst(msgval(e))) (snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))))))
∧ (b = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
∧ (<s, c> = msgval(e) ∈ (ℤ × Cmd)))
∨ (((header(e) = ``pv11_p1 adopted`` ∈ Name)
   ∧ has-es-info-type(es;e;f;pv11_p1_Ballot_Num() × ((pv11_p1_Ballot_Num() × ℤ × Cmd) List)))
  ∧ ((fst(msgval(e))) = (fst(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num())
  ∧ ((<s, c> ↓∈ snd(snd(pv11_p1_LeaderStateFun(Cmd;ldrs_uid;f;es;e)))
    ∧ (¬(∃p2:Cmd. (<s, p2> ∈ pv11_p1_pmax(Cmd;ldrs_uid) (snd(msgval(e)))))))
    ∨ (∃v2:pv11_p1_Ballot_Num()
        (<v2, s, c> ↓∈ snd(msgval(e))
        ∧ (¬(∃z5:pv11_p1_Ballot_Num(). ∃z8:Cmd. ((↑(v2  < z5)) ∧ (<z5, s, z8> ∈ snd(msgval(e)))))))))
  ∧ (b = (fst(msgval(e))) ∈ pv11_p1_Ballot_Num()))
⊢ SqStable(∃n:ℤ. (↑(pv11_p1_eq_bnums() b (pv11_p1_mk_bnum() n l))))
BY
{ ((D 0 THENA Auto)
   THEN DVar `b'
   THEN Try (Complete ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto THEN SquashExRepD THEN Auto)))
   THEN DVar `x'
   THEN (InstConcl [⌈x1⌉]⋅ THENA Auto)
   THEN (D (-1) THEN Auto)
   THEN ExRepD
   THEN (RW assert_pushdownC (-1) THENA Auto)
   THEN All (RepUR ``pv11_p1_mk_bnum pv11_p1_Ballot_Num``)
   THEN Repeat ((EqCD THEN Auto))) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\}  @i'
2.  f  :  pv11\_p1\_headers\_type\{i:l\}(Cmd)@i'
3.  (f  [decision])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
4.  (f  [propose])  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
5.  (f  ``pv11\_p1  adopted``)  =  (pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
6.  (f  ``pv11\_p1  preempted``)  =  pv11\_p1\_Ballot\_Num()
7.  (f  ``pv11\_p1  p2b``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
8.  (f  ``pv11\_p1  p2a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
9.  (f  ``pv11\_p1  p1b``)
=  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List))
10.  (f  ``pv11\_p1  p1a``)  =  (Id  \mtimes{}  pv11\_p1\_Ballot\_Num())
11.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
12.  es  :  EO+(Message(f))@i'
13.  e  :  E@i
14.  ldrs$_{uid}$  :  Id  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}@i
15.  accpts  :  bag(Id)@i
16.  ldrs  :  bag(Id)@i
17.  reps  :  bag(Id)@i
18.  b  :  pv11\_p1\_Ballot\_Num()@i
19.  i  :  Id@i
20.  l  :  Id@i
21.  s  :  \mBbbZ{}@i
22.  c  :  Cmd@i
23.  loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  ldrs
24.  i  \mdownarrow{}\mmember{}  accpts
25.  0  =  0
26.  ff  =  pv11\_p1\_init\_active()
27.  l  =  loc(e)
28.  [\%]  :  (((header(e)  =  [propose])  \mwedge{}  has-es-info-type(es;e;f;\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd))
\mwedge{}  ((\muparrow{}(fst(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))))
    \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}(pv11\_p1\_in\_domain(Cmd)  (fst(msgval(e))) 
                (snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))))))
\mwedge{}  (b  =  (fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e))))
\mwedge{}  (<s,  c>  =  msgval(e)))
\mvee{}  (((header(e)  =  ``pv11\_p1  adopted``)
      \mwedge{}  has-es-info-type(es;e;f;pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  ((pv11\_p1\_Ballot\_Num()  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)  List)))
    \mwedge{}  ((fst(msgval(e)))  =  (fst(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e))))
    \mwedge{}  ((<s,  c>  \mdownarrow{}\mmember{}  snd(snd(pv11\_p1\_LeaderStateFun(Cmd;ldrs$_{uid}$;f;es;e)))
        \mwedge{}  (\mneg{}(\mexists{}p2:Cmd.  (<s,  p2>  \mmember{}  pv11\_p1\_pmax(Cmd;ldrs$_{uid}$)  (snd(msgval(e)))))))
        \mvee{}  (\mexists{}v2:pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                (<v2,  s,  c>  \mdownarrow{}\mmember{}  snd(msgval(e))
                \mwedge{}  (\mneg{}(\mexists{}z5:pv11\_p1\_Ballot\_Num()
                            \mexists{}z8:Cmd.  ((\muparrow{}(v2    <  z5))  \mwedge{}  (<z5,  s,  z8>  \mmember{}  snd(msgval(e)))))))))
    \mwedge{}  (b  =  (fst(msgval(e)))))
\mvdash{}  SqStable(\mexists{}n:\mBbbZ{}.  (\muparrow{}(pv11\_p1\_eq\_bnums()  b  (pv11\_p1\_mk\_bnum()  n  l))))


By

---

Latex:
((D  0  THENA  Auto)
  THEN  DVar  `b'
  THEN  Try  (Complete  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto  THEN  SquashExRepD  THEN  Auto)))
  THEN  DVar  `x'
  THEN  (InstConcl  [\mkleeneopen{}x1\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (D  (-1)  THEN  Auto)
  THEN  ExRepD
  THEN  (RW  assert\_pushdownC  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  All  (RepUR  ``pv11\_p1\_mk\_bnum  pv11\_p1\_Ballot\_Num``)
  THEN  Repeat  ((EqCD  THEN  Auto)))

---

Home Index