---

Step * 1 1 2 2 1 of Lemma A-open-box-image_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. J : Cname List
5. K : Cname List
6. alpha : X(I)
7. f : name-morph(I;K)
8. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
9. x : nameset(I)
10. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
11. i : ℕ2
12. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
13. bx : A-face(X;A;I;alpha) List
14. A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
15. l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
17. map(f;J) ∈ nameset(K) List
18. f x ∈ nameset(K)
19. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
20. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
21. (f x ∈ map(f;J))
⊢ (x ∈ J)
BY
{ ((Assert J ∈ nameset(J) List BY
          (Unfold `nameset` 0 THEN Auto))
   THEN (Assert f ∈ nameset(J) ⟶ Cname BY
               (ExtWith [`a'] [⌜Void ⟶ Void⌝]⋅ THEN Auto))
   THEN (RW ListC (-3) THENA Auto)
   THEN ExRepD) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. I : Cname List
4. J : Cname List
5. K : Cname List
6. alpha : X(I)
7. f : name-morph(I;K)
8. nameset(map(f;J)) ⊆r nameset(K)
9. x : nameset(I)
10. ∀x:nameset([x / J]). (f x ∈ nameset(K))
11. i : ℕ2
12. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
13. bx : A-face(X;A;I;alpha) List
14. A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
15. l_subset(Cname;J;I)
16. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
17. (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
18. (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
19. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
20. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
21. ∀x:nameset(J). (f x ∈ nameset(K))
22. map(f;J) ∈ nameset(K) List
23. f x ∈ nameset(K)
24. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (fst(fc) ∈ [x / J]))
25. ∀fc:A-face(X;A;I;alpha). ((fc ∈ bx) ⇒ (↑isname(f (fst(fc)))))
26. y : nameset(J)
27. (y ∈ J)
28. (f x) = (f y) ∈ Cname
29. J ∈ nameset(J) List
30. f ∈ nameset(J) ⟶ Cname
⊢ (x ∈ J)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  I  :  Cname  List
4.  J  :  Cname  List
5.  K  :  Cname  List
6.  alpha  :  X(I)
7.  f  :  name-morph(I;K)
8.  nameset(map(f;J))  \msubseteq{}r  nameset(K)
9.  x  :  nameset(I)
10.  \mforall{}x:nameset([x  /  J]).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
11.  i  :  \mBbbN{}2
12.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
13.  bx  :  A-face(X;A;I;alpha)  List
14.  A-adjacent-compatible(X;A;I;alpha;bx)
15.  l\_subset(Cname;J;I)
\mwedge{}  ((\mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <y,  c>))
    \mwedge{}  (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
    \mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>)))
\mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
\mwedge{}  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(A-face-name(f1)  =  A-face-name(f2)))
16.  \mforall{}x:nameset(J).  (f  x  \mmember{}  nameset(K))
17.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
18.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
19.  \mforall{}fc:A-face(X;A;I;alpha).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (fst(fc)  \mmember{}  [x  /  J]))
20.  \mforall{}fc:A-face(X;A;I;alpha).  ((fc  \mmember{}  bx)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  (fst(fc)))))
21.  (f  x  \mmember{}  map(f;J))
\mvdash{}  (x  \mmember{}  J)


By

---

Latex:
((Assert  J  \mmember{}  nameset(J)  List  BY
                (Unfold  `nameset`  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  f  \mmember{}  nameset(J)  {}\mrightarrow{}  Cname  BY
                          (ExtWith  [`a']  [\mkleeneopen{}Void  {}\mrightarrow{}  Void\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (RW  ListC  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  ExRepD)

---

Home Index