---

Step * 1 2 1 1 1 2 of Lemma cubical-snd_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _}
3. A@0 : I:(Cname List) ⟶ X.A(I) ⟶ Type
4. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.A(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
5. ∀I:Cname List. ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a))
6. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.A(I). ∀u:A@0 I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K (f o g)(a)))
7. p : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ (u:A(a) × <A@0, B1>((a;u)))
8. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).
     (<(snd(A)) I J f a (fst((p I a))), B1 I J f (a;fst((p I a))) (snd((p I a)))>
     = (p J f(a))
     ∈ (u:A(f(a)) × <A@0, B1>((f(a);u))))
9. p.1 ∈ {X ⊢ _:A}
10. I : Cname List
11. J : Cname List
12. f : name-morph(I;J)
13. a : X(I)
14. <(snd(A)) I J f a (fst((p I a))), B1 I J f ([p.1])a (snd((p I a)))> = (p J f(a)) ∈ (u:A(f(a)) × <A@0, B1>((f(a);u)))
⊢ (B1 I J f ([p.1])a (snd((p I a)))) = (snd((p J f(a)))) ∈ (A@0 J ([p.1])f(a))
BY
{ xxx((Assert X ⊢ A BY Auto) THEN PromoteHyp (-1) 3 THEN RepeatFor 2 (DVar `A') THEN All Reduce)xxx }

1
1. X : CubicalSet
2. A1 : I:(Cname List) ⟶ X(I) ⟶ Type
3. A2 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X(I) ⟶ (A1 I a) ⟶ (A1 J f(a))
4. (∀I:Cname List. ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.  ((A2 I I 1 a u) = u ∈ (A1 I a)))
∧ (∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X(I). ∀u:A1 I a.
     ((A2 I K (f o g) a u) = (A2 J K g f(a) (A2 I J f a u)) ∈ (A1 K (f o g)(a))))
5. X ⊢ <A1, A2>
6. A@0 : I:(Cname List) ⟶ X.<A1, A2>(I) ⟶ Type
7. B1 : I:(Cname List) ⟶ J:(Cname List) ⟶ f:name-morph(I;J) ⟶ a:X.<A1, A2>(I) ⟶ (A@0 I a) ⟶ (A@0 J f(a))
8. ∀I:Cname List. ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A@0 I a.  ((B1 I I 1 a u) = u ∈ (A@0 I a))
9. ∀I,J,K:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀g:name-morph(J;K). ∀a:X.<A1, A2>(I). ∀u:A@0 I a.
     ((B1 I K (f o g) a u) = (B1 J K g f(a) (B1 I J f a u)) ∈ (A@0 K (f o g)(a)))
10. p : I:(Cname List) ⟶ a:X(I) ⟶ (u:<A1, A2>(a) × <A@0, B1>((a;u)))
11. ∀I,J:Cname List. ∀f:name-morph(I;J). ∀a:X(I).
      (<A2 I J f a (fst((p I a))), B1 I J f (a;fst((p I a))) (snd((p I a)))>
      = (p J f(a))
      ∈ (u:<A1, A2>(f(a)) × <A@0, B1>((f(a);u))))
12. p.1 ∈ {X ⊢ _:<A1, A2>}
13. I : Cname List
14. J : Cname List
15. f : name-morph(I;J)
16. a : X(I)
17. <A2 I J f a (fst((p I a))), B1 I J f ([p.1])a (snd((p I a)))> = (p J f(a)) ∈ (u:<A1, A2>(f(a)) × <A@0, B1>((f(a);u))\000C)
⊢ (B1 I J f ([p.1])a (snd((p I a)))) = (snd((p J f(a)))) ∈ (A@0 J ([p.1])f(a))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
3.  A@0  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  X.A(I)  {}\mrightarrow{}  Type
4.  B1  :  I:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  J:(Cname  List)
{}\mrightarrow{}  f:name-morph(I;J)
{}\mrightarrow{}  a:X.A(I)
{}\mrightarrow{}  (A@0  I  a)
{}\mrightarrow{}  (A@0  J  f(a))
5.  \mforall{}I:Cname  List.  \mforall{}a:X.A(I).  \mforall{}u:A@0  I  a.    ((B1  I  I  1  a  u)  =  u)
6.  \mforall{}I,J,K:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}g:name-morph(J;K).  \mforall{}a:X.A(I).  \mforall{}u:A@0  I  a.
          ((B1  I  K  (f  o  g)  a  u)  =  (B1  J  K  g  f(a)  (B1  I  J  f  a  u)))
7.  p  :  I:(Cname  List)  {}\mrightarrow{}  a:X(I)  {}\mrightarrow{}  (u:A(a)  \mtimes{}  <A@0,  B1>((a;u)))
8.  \mforall{}I,J:Cname  List.  \mforall{}f:name-morph(I;J).  \mforall{}a:X(I).
          (<(snd(A))  I  J  f  a  (fst((p  I  a))),  B1  I  J  f  (a;fst((p  I  a)))  (snd((p  I  a)))>  =  (p  J  f(a)))
9.  p.1  \mmember{}  \{X  \mvdash{}  \_:A\}
10.  I  :  Cname  List
11.  J  :  Cname  List
12.  f  :  name-morph(I;J)
13.  a  :  X(I)
14.  <(snd(A))  I  J  f  a  (fst((p  I  a))),  B1  I  J  f  ([p.1])a  (snd((p  I  a)))>  =  (p  J  f(a))
\mvdash{}  (B1  I  J  f  ([p.1])a  (snd((p  I  a))))  =  (snd((p  J  f(a))))


By

---

Latex:
xxx((Assert  X  \mvdash{}  A  BY  Auto)  THEN  PromoteHyp  (-1)  3  THEN  RepeatFor  2  (DVar  `A')  THEN  All  Reduce)xxx

---

Home Index