---

Step * 1 1 4 2 1 1 1 of Lemma groupoid-edges-commute1


1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(I)
5. (j ∈ J)
6. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
7. x : nameset(I)
8. i : ℤ
9. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
10. f : name-morph(I;[])
11. f x ≠ 1
12. a : nameset(I)
13. flip(f;a) x ≠ 1
14. ¬(a = j ∈ Cname)
15. (f a) = 0 ∈ ℕ2
16. (f j) = 0 ∈ ℕ2
17. ¬(x = j ∈ Cname)
18. i = 1 ∈ ℤ
19. (f x) = 0 ∈ ℕ2
20. (flip(f;a) x) = 0 ∈ ℕ2
21. ¬(x = a ∈ Cname)
22. (∃j∈J. ¬(j = x ∈ Cname))
23. v : {a1:cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j))| 
         a1 o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x)
         = nerve_box_edge(box;flip(f;a);x) o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j)} 
24. groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;flip(f;a));nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j));
    nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;a);j);x));
    nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x);nerve_box_edge(box;flip(f;a);x);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j))
= v
∈ {a1:cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j))| 
   a1 o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x)
   = nerve_box_edge(box;flip(f;a);x) o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j)} 
⊢ (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   v)
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;j)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);a)) 
   groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;f);nerve_box_label(box;flip(f;j));
   nerve_box_label(box;flip(f;x));nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);x));nerve_box_edge(box;flip(f;j);x);
   nerve_box_edge(box;f;x);nerve_box_edge(box;flip(f;x);j)) 
   nerve_box_edge(box;flip(f;j);a))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)))
BY
{ GenConclAtAddr [3;1;2]⋅ }

1
1. G : Groupoid
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. j : nameset(I)
5. (j ∈ J)
6. (∀j'∈J.j' = j ∈ Cname)
7. x : nameset(I)
8. i : ℤ
9. box : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
10. f : name-morph(I;[])
11. f x ≠ 1
12. a : nameset(I)
13. flip(f;a) x ≠ 1
14. ¬(a = j ∈ Cname)
15. (f a) = 0 ∈ ℕ2
16. (f j) = 0 ∈ ℕ2
17. ¬(x = j ∈ Cname)
18. i = 1 ∈ ℤ
19. (f x) = 0 ∈ ℕ2
20. (flip(f;a) x) = 0 ∈ ℕ2
21. ¬(x = a ∈ Cname)
22. (∃j∈J. ¬(j = x ∈ Cname))
23. v : {a1:cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j))| 
         a1 o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x)
         = nerve_box_edge(box;flip(f;a);x) o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j)} 
24. groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;flip(f;a));nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j));
    nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve_box_label(box;flip(flip(flip(f;a);j);x));
    nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x);nerve_box_edge(box;flip(f;a);x);nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j))
= v
∈ {a1:cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j))| 
   a1 o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);j);x)
   = nerve_box_edge(box;flip(f;a);x) o nerve_box_edge(box;flip(flip(f;a);x);j)} 
25. v1 : {a:cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;j))| 
          a o nerve_box_edge(box;flip(f;j);x) = nerve_box_edge(box;f;x) o nerve_box_edge(box;flip(f;x);j)} 
26. groupoid-square2(G;nerve_box_label(box;f);nerve_box_label(box;flip(f;j));
    nerve_box_label(box;flip(f;x));nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);x));nerve_box_edge(box;flip(f;j);x);
    nerve_box_edge(box;f;x);nerve_box_edge(box;flip(f;x);j))
= v1
∈ {a:cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;j))| 
   a o nerve_box_edge(box;flip(f;j);x) = nerve_box_edge(box;f;x) o nerve_box_edge(box;flip(f;x);j)} 
⊢ (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;a)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
   nerve_box_edge(box;f;a) 
   v)
= (cat-comp(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(f;j)) nerve_box_label(box;flip(flip(f;j);a)) v1 
   nerve_box_edge(box;flip(f;j);a))
∈ (cat-arrow(cat(G)) nerve_box_label(box;f) nerve_box_label(box;flip(flip(f;a);j)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  j  :  nameset(I)
5.  (j  \mmember{}  J)
6.  (\mforall{}j'\mmember{}J.j'  =  j)
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbZ{}
9.  box  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;1)
10.  f  :  name-morph(I;[])
11.  f  x  \mneq{}  1
12.  a  :  nameset(I)
13.  flip(f;a)  x  \mneq{}  1
14.  \mneg{}(a  =  j)
15.  (f  a)  =  0
16.  (f  j)  =  0
17.  \mneg{}(x  =  j)
18.  i  =  1
19.  (f  x)  =  0
20.  (flip(f;a)  x)  =  0
21.  \mneg{}(x  =  a)
22.  (\mexists{}j\mmember{}J.  \mneg{}(j  =  x))
23.  v  :  \{a1:cat-arrow(cat(G))  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
                        nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);j))| 
                  a1  o  nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);j);x)
                  =  nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);x)  o  nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);x);j)\} 
24.  groupoid-square2(G;nerve\_box\_label(box;flip(f;a));nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);j));
        nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);x));nerve\_box\_label(box;flip(flip(flip(f;a);j);x));
        nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);j);x);nerve\_box\_edge(box;flip(f;a);x);
        nerve\_box\_edge(box;flip(flip(f;a);x);j))
=  v
\mvdash{}  (cat-comp(cat(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;a)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;a);j)) 
      nerve\_box\_edge(box;f;a) 
      v)
=  (cat-comp(cat(G))  nerve\_box\_label(box;f)  nerve\_box\_label(box;flip(f;j)) 
      nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;j);a)) 
      groupoid-square2(G;nerve\_box\_label(box;f);nerve\_box\_label(box;flip(f;j));
      nerve\_box\_label(box;flip(f;x));nerve\_box\_label(box;flip(flip(f;j);x));
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;j);x);nerve\_box\_edge(box;f;x);nerve\_box\_edge(box;flip(f;x);j)) 
      nerve\_box\_edge(box;flip(f;j);a))


By

---

Latex:
GenConclAtAddr  [3;1;2]\mcdot{}

---

Home Index