---

Step * 2 1 2 of Lemma groupoid-nerve-filler-uniform


1. G : Groupoid
2. True
3. I : Cname List
4. J : nameset(I) List
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
8. K : Cname List
9. f : name-morph(I;K)
10. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
11. ↑isname(f x)
12. ¬↑null(J)
13. f ∈ nameset(J) ⟶ nameset(K)
14. map(f;J) ∈ nameset(K) List
15. f x ∈ nameset(K)
16. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
⊢ f(groupoid-nerve-filler(G;I;J;x;i;bx))
= groupoid-nerve-filler(G;K;map(f;J);f x;i;open_box_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx))
∈ Functor(poset-cat(K);cat(G))
BY
{ (( BLemma `poset-functors-equal` THENA Auto)
   THEN RepUR ``groupoid-nerve-filler`` 0
   THEN (RWO "null-map" 0 THENA Auto)
   THEN (BoolCase ⌜null(J)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Try ((D 12 THEN Auto))
   THEN (Assert ¬↑null(J) BY
               (RW assert_pushdownC 0 THEN Auto))
   THEN (Assert ¬↑null(map(f;J)) BY
               (RWO "null-map" 0 THEN Auto))) }

1
1. G : Groupoid
2. True
3. I : Cname List
4. J : nameset(I) List
5. ¬(J = [] ∈ (nameset(I) List))
6. x : nameset(I)
7. i : ℕ2
8. bx : open_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
9. K : Cname List
10. f : name-morph(I;K)
11. ∀i:nameset(I). ((i ∈ J) ⇒ (↑isname(f i)))
12. ↑isname(f x)
13. ¬False
14. f ∈ nameset(J) ⟶ nameset(K)
15. map(f;J) ∈ nameset(K) List
16. f x ∈ nameset(K)
17. nameset([x / J]) ⊆r name-morph-domain(f;I)
18. ¬↑null(J)
19. ¬↑null(map(f;J))
⊢ (∀f1:name-morph(K;[])
     ((f(if 3 <z ||bx|| then groupoid-nerve-filler2(cat(G);I;J;bx) else groupoid-nerve-filler1(G;I;J;x;i;bx) fi ) f1)
     = (if 3 <z ||open_box_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx)||
        then groupoid-nerve-filler2(cat(G);K;map(f;J);open_box_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx))
        else groupoid-nerve-filler1(G;K;map(f;J);f x;i;open_box_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx))
        fi  
        f1)
     ∈ cat-ob(cat(G))))
∧ (∀x1:nameset(K). ∀f1:{f:name-morph(K;[])| (f x1) = 0 ∈ ℕ2} .
     ((f(if 3 <z ||bx|| then groupoid-nerve-filler2(cat(G);I;J;bx) else groupoid-nerve-filler1(G;I;J;x;i;bx) fi ) f1 
       flip(f1;x1) 
       (λx.Ax))
     = (if 3 <z ||open_box_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx)||
        then groupoid-nerve-filler2(cat(G);K;map(f;J);open_box_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx))
        else groupoid-nerve-filler1(G;K;map(f;J);f x;i;open_box_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx))
        fi  
        f1 
        flip(f1;x1) 
        (λx.Ax))
     ∈ (cat-arrow(cat(G)) 
        (f(if 3 <z ||bx|| then groupoid-nerve-filler2(cat(G);I;J;bx) else groupoid-nerve-filler1(G;I;J;x;i;bx) fi ) f1) 
        (f(if 3 <z ||bx|| then groupoid-nerve-filler2(cat(G);I;J;bx) else groupoid-nerve-filler1(G;I;J;x;i;bx) fi ) 
         flip(f1;x1)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  G  :  Groupoid
2.  True
3.  I  :  Cname  List
4.  J  :  nameset(I)  List
5.  x  :  nameset(I)
6.  i  :  \mBbbN{}2
7.  bx  :  open\_box(cubical-nerve(cat(G));I;J;x;i)
8.  K  :  Cname  List
9.  f  :  name-morph(I;K)
10.  \mforall{}i:nameset(I).  ((i  \mmember{}  J)  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}isname(f  i)))
11.  \muparrow{}isname(f  x)
12.  \mneg{}\muparrow{}null(J)
13.  f  \mmember{}  nameset(J)  {}\mrightarrow{}  nameset(K)
14.  map(f;J)  \mmember{}  nameset(K)  List
15.  f  x  \mmember{}  nameset(K)
16.  nameset([x  /  J])  \msubseteq{}r  name-morph-domain(f;I)
\mvdash{}  f(groupoid-nerve-filler(G;I;J;x;i;bx))
=  groupoid-nerve-filler(G;K;map(f;J);f  x;i;open\_box\_image(cubical-nerve(cat(G));I;K;f;bx))


By

---

Latex:
((  BLemma  `poset-functors-equal`  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``groupoid-nerve-filler``  0
  THEN  (RWO  "null-map"  0  THENA  Auto)
  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}null(J)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Try  ((D  12  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mneg{}\muparrow{}null(J)  BY
                          (RW  assert\_pushdownC  0  THEN  Auto))
  THEN  (Assert  \mneg{}\muparrow{}null(map(f;J))  BY
                          (RWO  "null-map"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index