---

Step * 2 1 of Lemma nerve-box-common-face_wf2


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. J : nameset(I) List
4. x : nameset(I)
5. i : ℕ2
6. box : I-face(cubical-nerve(C);I) List
7. adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box)
8. ¬(x ∈ J)
9. l_subset(Cname;J;I)
10. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
11. (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
13. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x / J]))
14. (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
15. L : name-morph(I;[])
16. z : nameset(I)
17. ((L x) = i ∈ ℕ2) ∧ (¬↑null(J))
18. z = x ∈ Cname
⊢ (∃x∈box. ↑((direction(x) =z L dimension(x)) ∧b (direction(x) =z flip(L;z) dimension(x))))
BY
{ (HypSubst' (-1) 0
   THEN DVar `J'
   THEN All Reduce
   THEN Auto
   THEN (InstHyp [⌜u⌝;⌜L u⌝] 11⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (ParallelLast)
   THEN MoveToConcl (-1)
   THEN (GenConclTerm ⌜box[i1]⌝⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 2 (D -2)
   THEN RepUR ``face-name face-direction face-dimension`` 0
   THEN Auto) }

1
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. u : nameset(I)
4. v : nameset(I) List
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. box : I-face(cubical-nerve(C);I) List
8. adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box)
9. ¬(x ∈ [u / v])
10. l_subset(Cname;[u / v];I)
11. ∀y:nameset([u / v]). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
13. (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
14. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x; [u / v]]))
15. (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. L : name-morph(I;[])
17. z : nameset(I)
18. (L x) = i ∈ ℕ2
19. ¬False
20. z = x ∈ Cname
21. i1 : ℕ||box||
22. x1 : nameset(I)
23. v3 : ℕ2
24. v4 : cubical-nerve(C)(I-[x1])
25. box[i1] = <x1, v3, v4> ∈ I-face(cubical-nerve(C);I)
26. <x1, v3> = <u, L u> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
⊢ v3 = (L x1) ∈ ℤ

2
1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. u : nameset(I)
4. v : nameset(I) List
5. x : nameset(I)
6. i : ℕ2
7. box : I-face(cubical-nerve(C);I) List
8. adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box)
9. ¬(x ∈ [u / v])
10. l_subset(Cname;[u / v];I)
11. ∀y:nameset([u / v]). ∀c:ℕ2.  (∃f∈box. face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
12. (∃f∈box. face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
13. (∀f∈box.¬(face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
14. (∀f∈box.(fst(f) ∈ [x; [u / v]]))
15. (∀f1,f2∈box.  ¬(face-name(f1) = face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. L : name-morph(I;[])
17. z : nameset(I)
18. (L x) = i ∈ ℕ2
19. ¬False
20. z = x ∈ Cname
21. i1 : ℕ||box||
22. x1 : nameset(I)
23. v3 : ℕ2
24. v4 : cubical-nerve(C)(I-[x1])
25. box[i1] = <x1, v3, v4> ∈ I-face(cubical-nerve(C);I)
26. <x1, v3> = <u, L u> ∈ (nameset(I) × ℕ2)
27. v3 = (L x1) ∈ ℤ
⊢ v3 = (flip(L;x) x1) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  J  :  nameset(I)  List
4.  x  :  nameset(I)
5.  i  :  \mBbbN{}2
6.  box  :  I-face(cubical-nerve(C);I)  List
7.  adjacent-compatible(cubical-nerve(C);I;box)
8.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
9.  l\_subset(Cname;J;I)
10.  \mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <y,  c>)
11.  (\mexists{}f\mmember{}box.  face-name(f)  =  <x,  i>)
12.  (\mforall{}f\mmember{}box.\mneg{}(face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
13.  (\mforall{}f\mmember{}box.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
14.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}box.    \mneg{}(face-name(f1)  =  face-name(f2)))
15.  L  :  name-morph(I;[])
16.  z  :  nameset(I)
17.  ((L  x)  =  i)  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}null(J))
18.  z  =  x
\mvdash{}  (\mexists{}x\mmember{}box.  \muparrow{}((direction(x)  =\msubz{}  L  dimension(x))  \mwedge{}\msubb{}  (direction(x)  =\msubz{}  flip(L;z)  dimension(x))))


By

---

Latex:
(HypSubst'  (-1)  0
  THEN  DVar  `J'
  THEN  All  Reduce
  THEN  Auto
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}u\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}L  u\mkleeneclose{}]  11\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (ParallelLast)
  THEN  MoveToConcl  (-1)
  THEN  (GenConclTerm  \mkleeneopen{}box[i1]\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
  THEN  RepUR  ``face-name  face-direction  face-dimension``  0
  THEN  Auto)

---

Home Index