---

Step * 1 1 1 2 of Lemma poset_functor_extend-face-map1


1. C : SmallCategory
2. I : Cname List
3. L : name-morph(I;[]) ⟶ cat-ob(C)
4. E : i:nameset(I) ⟶ c:{c:name-morph(I;[])| (c i) = 0 ∈ ℕ2}  ⟶ (cat-arrow(C) (L c) (L flip(c;i)))
5. y : nameset(I)
6. a : ℕ2
7. n : ℕ
8. ∀n:ℕn
     ∀[c1,c2:name-morph(I;[])].
       ((||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n)
       ⇒ poset_functor_extend(C;I;L;E;((y:=a) o c1);((y:=a) o c2))
          = poset_functor_extend(C;I-[y];L o (λf.((y:=a) o f));λz,f. (E z ((y:=a) o f));c1;c2)
          ∈ (cat-arrow(C) (L ((y:=a) o c1)) (L ((y:=a) o c2))) 
          supposing ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x)))
9. c1 : name-morph(I;[])
10. c2 : name-morph(I;[])
11. ||filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I)|| ≤ n
12. ∀x:nameset(I). ((c1 x) ≤ (c2 x))
13. I ∈ nameset(I) List
14. CnameDeq ∈ EqDecider(nameset(I))
15. ((y:=a) o c1) ∈ name-morph(I;[])
16. ((y:=a) o c2) ∈ name-morph(I;[])
⊢ filter(λx.((((y:=a) o c1) x =z 0) ∧b (((y:=a) o c2) x =z 1));I-[y]) ~ filter(λx.((c1 x =z 0) ∧b (c2 x =z 1));I-[y])
BY
{ (BLemma `filter-sq`
   THEN Reduce 0
   THEN (RW assert_pushdownC 0 THENA Auto)
   THEN (D 0 THENA Auto)
   THEN RepUR ``name-comp face-map`` 0
   THEN (BoolCase ⌜(x =z y)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN Try ((Assert ⌜False⌝⋅
              THEN Auto
              THEN D -2
              THEN HypSubst' (-1) (-2)
              THEN RepeatFor 2 ((RW  ListC (-2) THENA Auto))
              THEN RepeatFor 2 (D -2)
              THEN Auto))
   THEN RWO "uext-ap-name" 0
   THEN Complete (Auto)) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  C  :  SmallCategory
2.  I  :  Cname  List
3.  L  :  name-morph(I;[])  {}\mrightarrow{}  cat-ob(C)
4.  E  :  i:nameset(I)  {}\mrightarrow{}  c:\{c:name-morph(I;[])|  (c  i)  =  0\}    {}\mrightarrow{}  (cat-arrow(C)  (L  c)  (L  flip(c;i)))
5.  y  :  nameset(I)
6.  a  :  \mBbbN{}2
7.  n  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}n:\mBbbN{}n
          \mforall{}[c1,c2:name-morph(I;[])].
              ((||filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I)||  \mleq{}  n)
              {}\mRightarrow{}  poset\_functor\_extend(C;I;L;E;((y:=a)  o  c1);((y:=a)  o  c2))
                    =  poset\_functor\_extend(C;I-[y];L  o  (\mlambda{}f.((y:=a)  o  f));\mlambda{}z,f.  (E  z  ((y:=a)  o  f));c1;c2) 
                    supposing  \mforall{}x:nameset(I).  ((c1  x)  \mleq{}  (c2  x)))
9.  c1  :  name-morph(I;[])
10.  c2  :  name-morph(I;[])
11.  ||filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));I)||  \mleq{}  n
12.  \mforall{}x:nameset(I).  ((c1  x)  \mleq{}  (c2  x))
13.  I  \mmember{}  nameset(I)  List
14.  CnameDeq  \mmember{}  EqDecider(nameset(I))
15.  ((y:=a)  o  c1)  \mmember{}  name-morph(I;[])
16.  ((y:=a)  o  c2)  \mmember{}  name-morph(I;[])
\mvdash{}  filter(\mlambda{}x.((((y:=a)  o  c1)  x  =\msubz{}  0)  \mwedge{}\msubb{}  (((y:=a)  o  c2)  x  =\msubz{}  1));I-[y])  \msim{}  filter(\mlambda{}x.((c1  x  =\msubz{}  0)
                                                                                                                                                                    \mwedge{}\msubb{}  (c2  x  =\msubz{}  1));
                                                                                                                                                              I-[y])


By

---

Latex:
(BLemma  `filter-sq`
  THEN  Reduce  0
  THEN  (RW  assert\_pushdownC  0  THENA  Auto)
  THEN  (D  0  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``name-comp  face-map``  0
  THEN  (BoolCase  \mkleeneopen{}(x  =\msubz{}  y)\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Try  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}
                        THEN  Auto
                        THEN  D  -2
                        THEN  HypSubst'  (-1)  (-2)
                        THEN  RepeatFor  2  ((RW    ListC  (-2)  THENA  Auto))
                        THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
                        THEN  Auto))
  THEN  RWO  "uext-ap-name"  0
  THEN  Complete  (Auto))

---

Home Index