---

Step * 1 1 1 1 of Lemma sigma-box-snd_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. A-adjacent-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx)
∧ (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
11. map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx) ∈ A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
12. cbA : Kan-type(A)(alpha)
13. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx);cbA)
⊢ map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), snd(snd(snd(fc)))>;bx) ∈ A-face(X.Kan-type(A);Kan-type(B);I;(alpha;cbA)) List
BY
{ TACTIC:((GenConcl ⌜bx = L ∈ ({fc:A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha)| (fc ∈ bx)}  List)⌝⋅ THENA Auto)
          THEN MemCD
          THEN Try ((FunExt
                     THEN Try ((D -1
                                THEN RepeatFor 2 (D -2)
                                THEN (RWO "cubical-sigma-at" (-2) THENA Auto)
                                THEN D -2
                                THEN Reduce 0
                                THEN RepUR ``A-face`` 0
                                THEN (RWO "cc-adjoin-cube-restriction" 0 THENA Auto)))
                     ))
          THEN Auto) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. A-adjacent-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx)
11. ¬(x ∈ J)
12. l_subset(Cname;J;I)
13. ∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
14. (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
15. (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
17. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
18. map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx) ∈ A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
19. cbA : Kan-type(A)(alpha)
20. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx);cbA)
21. L : {fc:A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha)| (fc ∈ bx)}  List
22. bx = L ∈ ({fc:A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha)| (fc ∈ bx)}  List)
23. x2 : nameset(I)
24. i1 : ℕ2
25. u : Kan-type(A)((x2:=i1)(alpha))
26. x5 : Kan-type(B)(((x2:=i1)(alpha);u))
27. (<x2, i1, u, x5> ∈ bx)
⊢ x5 ∈ Kan-type(B)(((x2:=i1)(alpha);(cbA alpha (x2:=i1))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
3.  B  :  \{X.Kan-type(A)  \mvdash{}  \_(Kan)\}
4.  I  :  Cname  List
5.  alpha  :  X(I)
6.  J  :  nameset(I)  List
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  bx  :  A-face(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha)  List
10.  A-adjacent-compatible(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;bx)
\mwedge{}  (\mneg{}(x  \mmember{}  J))
\mwedge{}  l\_subset(Cname;J;I)
\mwedge{}  ((\mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <y,  c>))
    \mwedge{}  (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
    \mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>)))
\mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
\mwedge{}  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(A-face-name(f1)  =  A-face-name(f2)))
11.  map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  fst(snd(snd(fc)))>bx)  \mmember{}  A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
12.  cbA  :  Kan-type(A)(alpha)
13.  fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  fst(snd(snd(fc)))>
                                                                                              bx);cbA)
\mvdash{}  map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  snd(snd(snd(fc)))>bx)
    \mmember{}  A-face(X.Kan-type(A);Kan-type(B);I;(alpha;cbA))  List


By

---

Latex:
TACTIC:((GenConcl  \mkleeneopen{}bx  =  L\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
                THEN  MemCD
                THEN  Try  ((FunExt
                                      THEN  Try  ((D  -1
                                                            THEN  RepeatFor  2  (D  -2)
                                                            THEN  (RWO  "cubical-sigma-at"  (-2)  THENA  Auto)
                                                            THEN  D  -2
                                                            THEN  Reduce  0
                                                            THEN  RepUR  ``A-face``  0
                                                            THEN  (RWO  "cc-adjoin-cube-restriction"  0  THENA  Auto)))
                                      ))
                THEN  Auto)

---

Home Index