---

Step * 1 1 1 2 1 of Lemma sigma-box-snd_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
11. ∀i:ℕ||bx||. ∀j:ℕi.  A-face-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i])
12. map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx) ∈ A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
13. cbA : Kan-type(A)(alpha)
14. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx);cbA)
15. i1 : ℕ||bx||@i
16. ∀j:ℕi1. A-face-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i1])
17. j : ℕi1@i
18. A-face-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i1])
⊢ A-face-compatible(X.Kan-type(A);Kan-type(B);I;(alpha;
                                                 cbA);map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), snd(snd(snd(fc)))>;
                                                          bx)[j];map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), snd(snd(snd(fc)))>;
                                                                     bx)[i1])
BY
{ TACTIC:((RWO  "select-map" 0 THENA Auto) THEN Reduce 0) }

1
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. (¬(x ∈ J))
∧ l_subset(Cname;J;I)
∧ ((∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
  ∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
  ∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))))
∧ (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
∧ (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
11. ∀i:ℕ||bx||. ∀j:ℕi.  A-face-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i])
12. map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx) ∈ A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
13. cbA : Kan-type(A)(alpha)
14. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx);cbA)
15. i1 : ℕ||bx||@i
16. ∀j:ℕi1. A-face-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i1])
17. j : ℕi1@i
18. A-face-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i1])
⊢ A-face-compatible(X.Kan-type(A);Kan-type(B);I;(alpha;cbA);<fst(bx[j]), fst(snd(bx[j])), snd(snd(snd(bx[j])))>;<fst(bx[\000Ci1]), fst(snd(bx[i1])), snd(snd(snd(bx[i1])))>)

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
3.  B  :  \{X.Kan-type(A)  \mvdash{}  \_(Kan)\}
4.  I  :  Cname  List
5.  alpha  :  X(I)
6.  J  :  nameset(I)  List
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  bx  :  A-face(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha)  List
10.  (\mneg{}(x  \mmember{}  J))
\mwedge{}  l\_subset(Cname;J;I)
\mwedge{}  ((\mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <y,  c>))
    \mwedge{}  (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
    \mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>)))
\mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
\mwedge{}  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(A-face-name(f1)  =  A-face-name(f2)))
11.  \mforall{}i:\mBbbN{}||bx||.  \mforall{}j:\mBbbN{}i.    A-face-compatible(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i])
12.  map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  fst(snd(snd(fc)))>bx)  \mmember{}  A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
13.  cbA  :  Kan-type(A)(alpha)
14.  fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  fst(snd(snd(fc)))>
                                                                                              bx);cbA)
15.  i1  :  \mBbbN{}||bx||@i
16.  \mforall{}j:\mBbbN{}i1.  A-face-compatible(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i1])
17.  j  :  \mBbbN{}i1@i
18.  A-face-compatible(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;bx[j];bx[i1])
\mvdash{}  A-face-compatible(X.Kan-type(A);Kan-type(B);I;(alpha;cbA);map(\mlambda{}fc.<fst(fc)
                                                                                                                                        ,  fst(snd(fc))
                                                                                                                                        ,  snd(snd(snd(fc)))>
                                                                                                                                bx)[j];map(\mlambda{}fc.<fst(fc)
                                                                                                                                                              ,  fst(snd(fc))
                                                                                                                                                              ,  snd(snd(snd(fc)))>
                                                                                                                                                      bx)[i1])


By

---

Latex:
TACTIC:((RWO    "select-map"  0  THENA  Auto)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index