---

Step * 1 1 1 2 5 of Lemma sigma-box-snd_wf


1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. A-adjacent-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx)
11. ¬(x ∈ J)
12. l_subset(Cname;J;I)
13. (∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
14. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
15. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx) ∈ A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
17. cbA : Kan-type(A)(alpha)
18. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx);cbA)
⊢ (∀f1,f2∈map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), snd(snd(snd(fc)))>;bx).  ¬(A-face-name(f1)
   = A-face-name(f2)
   ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
BY
{ TACTIC:Assert ⌜(∀f1,f2∈map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx).  ¬(A-face-name(f1)
                  = A-face-name(f2)
                  ∈ (nameset(I) × ℕ2)))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. A-adjacent-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx)
11. ¬(x ∈ J)
12. l_subset(Cname;J;I)
13. (∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
14. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
15. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx) ∈ A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
17. cbA : Kan-type(A)(alpha)
18. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx);cbA)
⊢ (∀f1,f2∈map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx).  ¬(A-face-name(f1)
   = A-face-name(f2)
   ∈ (nameset(I) × ℕ2)))

2
1. X : CubicalSet
2. A : {X ⊢ _(Kan)}
3. B : {X.Kan-type(A) ⊢ _(Kan)}
4. I : Cname List
5. alpha : X(I)
6. J : nameset(I) List
7. x : nameset(I)
8. i : ℕ2
9. bx : A-face(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha) List
10. A-adjacent-compatible(X;Σ Kan-type(A) Kan-type(B);I;alpha;bx)
11. ¬(x ∈ J)
12. l_subset(Cname;J;I)
13. (∀y:nameset(J). ∀c:ℕ2.  (∃f∈bx. A-face-name(f) = <y, c> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
∧ (∃f∈bx. A-face-name(f) = <x, i> ∈ (nameset(I) × ℕ2))
∧ (∀f∈bx.¬(A-face-name(f) = <x, 1 - i> ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
14. (∀f∈bx.(fst(f) ∈ [x / J]))
15. (∀f1,f2∈bx.  ¬(A-face-name(f1) = A-face-name(f2) ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
16. map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx) ∈ A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
17. cbA : Kan-type(A)(alpha)
18. fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx);cbA)
19. (∀f1,f2∈map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), fst(snd(snd(fc)))>;bx).  ¬(A-face-name(f1)
     = A-face-name(f2)
     ∈ (nameset(I) × ℕ2)))
⊢ (∀f1,f2∈map(λfc.<fst(fc), fst(snd(fc)), snd(snd(snd(fc)))>;bx).  ¬(A-face-name(f1)
   = A-face-name(f2)
   ∈ (nameset(I) × ℕ2)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  CubicalSet
2.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_(Kan)\}
3.  B  :  \{X.Kan-type(A)  \mvdash{}  \_(Kan)\}
4.  I  :  Cname  List
5.  alpha  :  X(I)
6.  J  :  nameset(I)  List
7.  x  :  nameset(I)
8.  i  :  \mBbbN{}2
9.  bx  :  A-face(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha)  List
10.  A-adjacent-compatible(X;\mSigma{}  Kan-type(A)  Kan-type(B);I;alpha;bx)
11.  \mneg{}(x  \mmember{}  J)
12.  l\_subset(Cname;J;I)
13.  (\mforall{}y:nameset(J).  \mforall{}c:\mBbbN{}2.    (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <y,  c>))
\mwedge{}  (\mexists{}f\mmember{}bx.  A-face-name(f)  =  <x,  i>)
\mwedge{}  (\mforall{}f\mmember{}bx.\mneg{}(A-face-name(f)  =  <x,  1  -  i>))
14.  (\mforall{}f\mmember{}bx.(fst(f)  \mmember{}  [x  /  J]))
15.  (\mforall{}f1,f2\mmember{}bx.    \mneg{}(A-face-name(f1)  =  A-face-name(f2)))
16.  map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  fst(snd(snd(fc)))>bx)  \mmember{}  A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;J;x;i)
17.  cbA  :  Kan-type(A)(alpha)
18.  fills-A-open-box(X;Kan-type(A);I;alpha;map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  fst(snd(snd(fc)))>
                                                                                              bx);cbA)
\mvdash{}  (\mforall{}f1,f2\mmember{}map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  snd(snd(snd(fc)))>bx).    \mneg{}(A-face-name(f1)
      =  A-face-name(f2)))


By

---

Latex:
TACTIC:Assert  \mkleeneopen{}(\mforall{}f1,f2\mmember{}map(\mlambda{}fc.<fst(fc),  fst(snd(fc)),  fst(snd(snd(fc)))>bx).    \mneg{}(A-face-name(f1)
                                =  A-face-name(f2)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index