---

Step * 2 1 2 1 1 1 1 of Lemma cubical-isect-family-comp

.....fun wf..... 
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. I : fset(ℕ)
5. J : fset(ℕ)
6. f : J ⟶ I
7. a : Delta(I)
8. A : {X ⊢ _}
9. B : {X.A ⊢ _}
10. w : J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ (⋂u:A(f((s)a)). B((f((s)a);u)))
11. ∀J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀u:A(f((s)a)).  ((w J f (f((s)a);u) g) = (w K f ⋅ g) ∈ B(g((f((s)a);u))))
12. H : fset(ℕ)
13. K : fset(ℕ)
14. h : H ⟶ J
15. g : K ⟶ H
16. u : A(h((s)f(a)))
17. (w H f ⋅ h (f ⋅ h((s)a);u) g) = (w K f ⋅ h ⋅ g) ∈ B(g((f ⋅ h((s)a);u)))
18. f ⋅ h ⋅ g = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I
19. f ⋅ h ⋅ g = f ⋅ h ⋅ g ∈ {z:K ⟶ I| (z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I) ∧ (z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I)} 
20. Z : {z:K ⟶ I| (z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I) ∧ (z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I)} 
⊢ (w K Z) = (w K Z) ∈ (⋂u:A(f ⋅ h ⋅ g((s)a)). B((f ⋅ h ⋅ g((s)a);u)))
BY
{ (Fold `member` 0 THEN D -1 THEN InferEqualType) }

1
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. I : fset(ℕ)
5. J : fset(ℕ)
6. f : J ⟶ I
7. a : Delta(I)
8. A : {X ⊢ _}
9. B : {X.A ⊢ _}
10. w : J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ (⋂u:A(f((s)a)). B((f((s)a);u)))
11. ∀J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀u:A(f((s)a)).  ((w J f (f((s)a);u) g) = (w K f ⋅ g) ∈ B(g((f((s)a);u))))
12. H : fset(ℕ)
13. K : fset(ℕ)
14. h : H ⟶ J
15. g : K ⟶ H
16. u : A(h((s)f(a)))
17. (w H f ⋅ h (f ⋅ h((s)a);u) g) = (w K f ⋅ h ⋅ g) ∈ B(g((f ⋅ h((s)a);u)))
18. f ⋅ h ⋅ g = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I
19. f ⋅ h ⋅ g = f ⋅ h ⋅ g ∈ {z:K ⟶ I| (z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I) ∧ (z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I)} 
20. Z : K ⟶ I
21. (Z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I) ∧ (Z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I)
⊢ (⋂u:A(Z((s)a)). B((Z((s)a);u))) = (⋂u:A(f ⋅ h ⋅ g((s)a)). B((f ⋅ h ⋅ g((s)a);u))) ∈ Type

2
1. X : CubicalSet
2. Delta : CubicalSet
3. s : Delta ⟶ X
4. I : fset(ℕ)
5. J : fset(ℕ)
6. f : J ⟶ I
7. a : Delta(I)
8. A : {X ⊢ _}
9. B : {X.A ⊢ _}
10. w : J:fset(ℕ) ⟶ f:J ⟶ I ⟶ (⋂u:A(f((s)a)). B((f((s)a);u)))
11. ∀J,K:fset(ℕ). ∀f:J ⟶ I. ∀g:K ⟶ J. ∀u:A(f((s)a)).  ((w J f (f((s)a);u) g) = (w K f ⋅ g) ∈ B(g((f((s)a);u))))
12. H : fset(ℕ)
13. K : fset(ℕ)
14. h : H ⟶ J
15. g : K ⟶ H
16. u : A(h((s)f(a)))
17. (w H f ⋅ h (f ⋅ h((s)a);u) g) = (w K f ⋅ h ⋅ g) ∈ B(g((f ⋅ h((s)a);u)))
18. f ⋅ h ⋅ g = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I
19. f ⋅ h ⋅ g = f ⋅ h ⋅ g ∈ {z:K ⟶ I| (z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I) ∧ (z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I)} 
20. Z : K ⟶ I
21. (Z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I) ∧ (Z = f ⋅ h ⋅ g ∈ K ⟶ I)
22. (⋂u:A(Z((s)a)). B((Z((s)a);u))) = (⋂u:A(f ⋅ h ⋅ g((s)a)). B((f ⋅ h ⋅ g((s)a);u))) ∈ Type
⊢ w K Z ∈ ⋂u:A(Z((s)a)). B((Z((s)a);u))

---

Latex:

---

Latex:
.....fun  wf..... 
1.  X  :  CubicalSet
2.  Delta  :  CubicalSet
3.  s  :  Delta  {}\mrightarrow{}  X
4.  I  :  fset(\mBbbN{})
5.  J  :  fset(\mBbbN{})
6.  f  :  J  {}\mrightarrow{}  I
7.  a  :  Delta(I)
8.  A  :  \{X  \mvdash{}  \_\}
9.  B  :  \{X.A  \mvdash{}  \_\}
10.  w  :  J:fset(\mBbbN{})  {}\mrightarrow{}  f:J  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}  (\mcap{}u:A(f((s)a)).  B((f((s)a);u)))
11.  \mforall{}J,K:fset(\mBbbN{}).  \mforall{}f:J  {}\mrightarrow{}  I.  \mforall{}g:K  {}\mrightarrow{}  J.  \mforall{}u:A(f((s)a)).    ((w  J  f  (f((s)a);u)  g)  =  (w  K  f  \mcdot{}  g))
12.  H  :  fset(\mBbbN{})
13.  K  :  fset(\mBbbN{})
14.  h  :  H  {}\mrightarrow{}  J
15.  g  :  K  {}\mrightarrow{}  H
16.  u  :  A(h((s)f(a)))
17.  (w  H  f  \mcdot{}  h  (f  \mcdot{}  h((s)a);u)  g)  =  (w  K  f  \mcdot{}  h  \mcdot{}  g)
18.  f  \mcdot{}  h  \mcdot{}  g  =  f  \mcdot{}  h  \mcdot{}  g
19.  f  \mcdot{}  h  \mcdot{}  g  =  f  \mcdot{}  h  \mcdot{}  g
20.  Z  :  \{z:K  {}\mrightarrow{}  I|  (z  =  f  \mcdot{}  h  \mcdot{}  g)  \mwedge{}  (z  =  f  \mcdot{}  h  \mcdot{}  g)\} 
\mvdash{}  (w  K  Z)  =  (w  K  Z)


By

---

Latex:
(Fold  `member`  0  THEN  D  -1  THEN  InferEqualType)

---

Home Index