---

Step * 1 1 of Lemma Euclid-parallel-points-exists


1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : {b:Point| a # b} 
4. p : Point
5. z : Point
6. u : Point
7. q : Point
8. Colinear(u;z;p)
9. ab  ⊥u uz
10. z # ab
11. z # p
12. zp  ⊥p qp
13. q # zp
⊢ ∃q:Point. geo-parallel-points(e;a;b;p;q)
BY
{ ((((D 0 With ⌜q⌝  THEN Auto) THEN Unfold `geo-parallel-points` 0) THEN Auto)
   THEN (gSeparatedCases ⌜u⌝ ⌜p⌝⋅ THENA Auto)
   THEN D 0
   THEN Auto) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : {b:Point| a # b} 
4. p : Point
5. z : Point
6. u : Point
7. q : Point
8. Colinear(u;z;p)
9. ab  ⊥u uz
10. z # ab
11. z # p
12. zp  ⊥p qp
13. q # zp
14. a # b
15. p # q
16. u # p
17. ∃x,y:{z:Point| Colinear(z;a;b)} . (x leftof pq ∧ y leftof qp)
⊢ False

2
1. e : EuclideanPlane
2. p : Point
3. a : Point
4. b : {b:Point| a # b} 
5. z : Point
6. u : Point
7. q : Point
8. Colinear(p;z;p)
9. ab  ⊥p pz
10. z # ab
11. z # p
12. zp  ⊥p qp
13. q # zp
14. a # b
15. p # q
16. u ≡ p
17. ∃x,y:{z:Point| Colinear(z;a;b)} . (x leftof pq ∧ y leftof qp)
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  \{b:Point|  a  \#  b\} 
4.  p  :  Point
5.  z  :  Point
6.  u  :  Point
7.  q  :  Point
8.  Colinear(u;z;p)
9.  ab    \mbot{}u  uz
10.  z  \#  ab
11.  z  \#  p
12.  zp    \mbot{}p  qp
13.  q  \#  zp
\mvdash{}  \mexists{}q:Point.  geo-parallel-points(e;a;b;p;q)


By

---

Latex:
((((D  0  With  \mkleeneopen{}q\mkleeneclose{}    THEN  Auto)  THEN  Unfold  `geo-parallel-points`  0)  THEN  Auto)
  THEN  (gSeparatedCases  \mkleeneopen{}u\mkleeneclose{}  \mkleeneopen{}p\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  0
  THEN  Auto)

---

Home Index