---

Step * 1 1 13 1 1 1 1 of Lemma Prop22-symmetric-point-construction-lemma


1. e : EuclideanPlane
2. a : Point
3. b : Point
4. c : Point
5. a # bc
6. |bc| < |ba| + |ac|
7. |ac| < |ba| + |bc|
8. |ba| < |ac| + |bc|
9. a ≠ b
10. b ≠ c
11. c ≠ a
12. x : Point
13. b-a-x
14. ax ≅ OX
15. y : Point
16. a-b-y
17. by ≅ OX
18. c1 : Point
19. x-a-c1
20. ac1 ≅ ac
21. c2 : Point
22. y-b-c2
23. bc2 ≅ bc
24. c1' : Point
25. b-a-c1'
26. ac1' ≅ ac1
27. c2' : Point
28. a-b-c2'
29. bc2' ≅ bc2
30. c1'' : Point
31. a_b_c1''
32. bc1'' ≅ bc1
33. c2'' : Point
34. b_a_c2''
35. ac2'' ≅ ac2
36. c1'-a-c1
37. c2'_b_c2
38. out(c2' c2c1')
39. |c2'c2| = |c2'b| + |bc2| ∈ Length
40. c2'_b_c1'
41. |c2'c1'| = |c2'b| + |bc1'| ∈ Length
42. b_a_c1'
43. |bc1'| = |ba| + |ac1'| ∈ Length
⊢ |c2'c2| < |c2'c1'|
BY
{ (((RWO "-5" 0 THEN Auto) THEN (RWO "-3" 0 THEN Auto) THEN RWO "-1" 0 THEN Auto)
   THEN ((Subst' |c2'b| + |bc2| = |bc| + |bc| ∈ Length 0 THEN Auto)
         THEN Subst' |c2'b| + |ba| + |ac1'| = |bc| + |ba| + |ac| ∈ Length 0
         THEN Auto)
   THEN (Subst' |bc| + |ba| + |ac| = |ba| + |ac| + |bc| ∈ Length 0 THEN Auto)
   THEN (InstLemma `geo-lt-add1-iff` [⌜e⌝;⌜|bc|⌝;⌜|ba| + |ac|⌝;⌜|bc|⌝]⋅ THEN Auto)
   THEN (InstLemma `geo-zero-point-sep-iff-sep` [⌜e⌝;⌜b⌝;⌜c⌝]⋅ THEN Auto)
   THEN InstLemma `geo-lt-sep` [⌜e⌝;⌜b⌝;⌜c⌝;⌜X⌝;⌜|ba| + |ac|⌝]⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  a  :  Point
3.  b  :  Point
4.  c  :  Point
5.  a  \#  bc
6.  |bc|  <  |ba|  +  |ac|
7.  |ac|  <  |ba|  +  |bc|
8.  |ba|  <  |ac|  +  |bc|
9.  a  \mneq{}  b
10.  b  \mneq{}  c
11.  c  \mneq{}  a
12.  x  :  Point
13.  b-a-x
14.  ax  \mcong{}  OX
15.  y  :  Point
16.  a-b-y
17.  by  \mcong{}  OX
18.  c1  :  Point
19.  x-a-c1
20.  ac1  \mcong{}  ac
21.  c2  :  Point
22.  y-b-c2
23.  bc2  \mcong{}  bc
24.  c1'  :  Point
25.  b-a-c1'
26.  ac1'  \mcong{}  ac1
27.  c2'  :  Point
28.  a-b-c2'
29.  bc2'  \mcong{}  bc2
30.  c1''  :  Point
31.  a\_b\_c1''
32.  bc1''  \mcong{}  bc1
33.  c2''  :  Point
34.  b\_a\_c2''
35.  ac2''  \mcong{}  ac2
36.  c1'-a-c1
37.  c2'\_b\_c2
38.  out(c2'  c2c1')
39.  |c2'c2|  =  |c2'b|  +  |bc2|
40.  c2'\_b\_c1'
41.  |c2'c1'|  =  |c2'b|  +  |bc1'|
42.  b\_a\_c1'
43.  |bc1'|  =  |ba|  +  |ac1'|
\mvdash{}  |c2'c2|  <  |c2'c1'|


By

---

Latex:
(((RWO  "-5"  0  THEN  Auto)  THEN  (RWO  "-3"  0  THEN  Auto)  THEN  RWO  "-1"  0  THEN  Auto)
  THEN  ((Subst'  |c2'b|  +  |bc2|  =  |bc|  +  |bc|  0  THEN  Auto)
              THEN  Subst'  |c2'b|  +  |ba|  +  |ac1'|  =  |bc|  +  |ba|  +  |ac|  0
              THEN  Auto)
  THEN  (Subst'  |bc|  +  |ba|  +  |ac|  =  |ba|  +  |ac|  +  |bc|  0  THEN  Auto)
  THEN  (InstLemma  `geo-lt-add1-iff`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|bc|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|ba|  +  |ac|\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|bc|\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  (InstLemma  `geo-zero-point-sep-iff-sep`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  InstLemma  `geo-lt-sep`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}c\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}|ba|  +  |ac|\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index