---

Step * 1 1 1 of Lemma Prop23-construction-lemma


1. e : EuclideanPlane
2. p : Point
3. q : Point
4. r : Point
5. a : Point
6. a' : Point
7. p # qr
8. a ≠ a'
9. |qr| < |qp| + |pr|
10. |pr| < |qp| + |qr|
11. |qp| < |pr| + |qr|
12. P : Point
13. a'-a-P
14. aP ≅ OX
15. b : Point
16. P-a-b
17. ab ≅ pq
18. out(a a'b)
19. c1 : Point
20. c1' : Point
21. c1'' : Point
22. c2 : Point
23. c2' : Point
24. c2'' : Point
25. pc1 ≅ pr
26. out(p qc1)
27. qc2 ≅ qr
28. out(q pc2)
29. q-p-c1'
30. pc1' ≅ pc1
31. p-q-c2'
32. qc2' ≅ qc2
33. p_q_c1''
34. qc1'' ≅ qc1
35. q_p_c2''
36. pc2'' ≅ pc2
37. p-c1-c2'
38. q-c2-c1'
39. c1'-p-c1
40. c2'-q-c2
41. c1'-c2-c2'
42. c2'-c1-c1'
43. c1'-c2-c1
44. c2'-c1-c2
45. C1' : Point
46. b-a-C1'
47. aC1' ≅ pc1
48. C2' : Point
49. a-b-C2'
50. bC2' ≅ qc2
51. C1 : Point
52. C1'-a-C1
53. aC1 ≅ C1'a
54. C2 : Point
55. C2'-b-C2
56. bC2 ≅ C2'b
57. C1'' : Point
58. a_b_C1''
59. bC1'' ≅ bC1
60. C2'' : Point
61. b_a_C2''
62. aC2'' ≅ aC2
⊢ ∃c1,c2:Point. (((pq ≅ ab ∧ out(a a'b)) ∧ pr ≅ ac1 ∧ bc2 > bc1) ∧ qr ≅ bc2 ∧ ac1 > ac2)
BY
{ (Assert a-C1-C2' BY
         (((Assert |pr| = |aC1| ∈ Length BY
                  Auto)
           THEN (Assert |pq| + |qr| = |aC2'| ∈ Length BY
                       ((Assert a_b_C2' BY Auto) THEN FLemma `geo-add-length-between` [-1] THEN Auto))
           )
          THEN (((Assert |pq| + |qr| = |qp| + |qr| ∈ Length BY
                        Auto)
                 THEN (RWO "-1" 64 THENA Auto)
                 THEN (RWO "-2" 10 THENA Auto))
                THEN (RWO "-4" 65 THENA Auto)
                )
          THEN (InstLemma `geo-lt-out-to-between` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜C1⌝;⌜C2'⌝]⋅ THEN Auto)
          THEN InstLemma `geo-out-iff-between1` [⌜e⌝;⌜a⌝;⌜C1⌝;⌜C2'⌝;⌜C1'⌝]⋅
          THEN Auto)) }

1
1. e : EuclideanPlane
2. p : Point
3. q : Point
4. r : Point
5. a : Point
6. a' : Point
7. p # qr
8. a ≠ a'
9. |qr| < |qp| + |pr|
10. |pr| < |qp| + |qr|
11. |qp| < |pr| + |qr|
12. P : Point
13. a'-a-P
14. aP ≅ OX
15. b : Point
16. P-a-b
17. ab ≅ pq
18. out(a a'b)
19. c1 : Point
20. c1' : Point
21. c1'' : Point
22. c2 : Point
23. c2' : Point
24. c2'' : Point
25. pc1 ≅ pr
26. out(p qc1)
27. qc2 ≅ qr
28. out(q pc2)
29. q-p-c1'
30. pc1' ≅ pc1
31. p-q-c2'
32. qc2' ≅ qc2
33. p_q_c1''
34. qc1'' ≅ qc1
35. q_p_c2''
36. pc2'' ≅ pc2
37. p-c1-c2'
38. q-c2-c1'
39. c1'-p-c1
40. c2'-q-c2
41. c1'-c2-c2'
42. c2'-c1-c1'
43. c1'-c2-c1
44. c2'-c1-c2
45. C1' : Point
46. b-a-C1'
47. aC1' ≅ pc1
48. C2' : Point
49. a-b-C2'
50. bC2' ≅ qc2
51. C1 : Point
52. C1'-a-C1
53. aC1 ≅ C1'a
54. C2 : Point
55. C2'-b-C2
56. bC2 ≅ C2'b
57. C1'' : Point
58. a_b_C1''
59. bC1'' ≅ bC1
60. C2'' : Point
61. b_a_C2''
62. aC2'' ≅ aC2
63. a-C1-C2'
⊢ ∃c1,c2:Point. (((pq ≅ ab ∧ out(a a'b)) ∧ pr ≅ ac1 ∧ bc2 > bc1) ∧ qr ≅ bc2 ∧ ac1 > ac2)

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  EuclideanPlane
2.  p  :  Point
3.  q  :  Point
4.  r  :  Point
5.  a  :  Point
6.  a'  :  Point
7.  p  \#  qr
8.  a  \mneq{}  a'
9.  |qr|  <  |qp|  +  |pr|
10.  |pr|  <  |qp|  +  |qr|
11.  |qp|  <  |pr|  +  |qr|
12.  P  :  Point
13.  a'-a-P
14.  aP  \mcong{}  OX
15.  b  :  Point
16.  P-a-b
17.  ab  \mcong{}  pq
18.  out(a  a'b)
19.  c1  :  Point
20.  c1'  :  Point
21.  c1''  :  Point
22.  c2  :  Point
23.  c2'  :  Point
24.  c2''  :  Point
25.  pc1  \mcong{}  pr
26.  out(p  qc1)
27.  qc2  \mcong{}  qr
28.  out(q  pc2)
29.  q-p-c1'
30.  pc1'  \mcong{}  pc1
31.  p-q-c2'
32.  qc2'  \mcong{}  qc2
33.  p\_q\_c1''
34.  qc1''  \mcong{}  qc1
35.  q\_p\_c2''
36.  pc2''  \mcong{}  pc2
37.  p-c1-c2'
38.  q-c2-c1'
39.  c1'-p-c1
40.  c2'-q-c2
41.  c1'-c2-c2'
42.  c2'-c1-c1'
43.  c1'-c2-c1
44.  c2'-c1-c2
45.  C1'  :  Point
46.  b-a-C1'
47.  aC1'  \mcong{}  pc1
48.  C2'  :  Point
49.  a-b-C2'
50.  bC2'  \mcong{}  qc2
51.  C1  :  Point
52.  C1'-a-C1
53.  aC1  \mcong{}  C1'a
54.  C2  :  Point
55.  C2'-b-C2
56.  bC2  \mcong{}  C2'b
57.  C1''  :  Point
58.  a\_b\_C1''
59.  bC1''  \mcong{}  bC1
60.  C2''  :  Point
61.  b\_a\_C2''
62.  aC2''  \mcong{}  aC2
\mvdash{}  \mexists{}c1,c2:Point.  (((pq  \mcong{}  ab  \mwedge{}  out(a  a'b))  \mwedge{}  pr  \mcong{}  ac1  \mwedge{}  bc2  >  bc1)  \mwedge{}  qr  \mcong{}  bc2  \mwedge{}  ac1  >  ac2)


By

---

Latex:
(Assert  a-C1-C2'  BY
              (((Assert  |pr|  =  |aC1|  BY
                                Auto)
                  THEN  (Assert  |pq|  +  |qr|  =  |aC2'|  BY
                                          ((Assert  a\_b\_C2'  BY  Auto)  THEN  FLemma  `geo-add-length-between`  [-1]  THEN  Auto))
                  )
                THEN  (((Assert  |pq|  +  |qr|  =  |qp|  +  |qr|  BY
                                            Auto)
                              THEN  (RWO  "-1"  64  THENA  Auto)
                              THEN  (RWO  "-2"  10  THENA  Auto))
                            THEN  (RWO  "-4"  65  THENA  Auto)
                            )
                THEN  (InstLemma  `geo-lt-out-to-between`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}C1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}C2'\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)
                THEN  InstLemma  `geo-out-iff-between1`  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}C1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}C2'\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}C1'\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                THEN  Auto))

---

Home Index