---

Step * 1 2 1 of Lemma in-hull-leftmost


1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. 2 < ||xs||
4. i : ℕ||xs||
5. j : ℕ||xs||
6. ¬(i = j ∈ ℤ)
7. ij ∈ Hull(xs)
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ comparison({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} )
9. filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List+
10. v : {mx:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} | 
         (mx ∈ filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)))
         ∧ (∀x∈filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)).0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x mx))} 
11. comparison-max(hull-cmp(g;xs;i;j);filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)))
= v
∈ {mx:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} | 
   (mx ∈ filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)))
   ∧ (∀x∈filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)).0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x mx))} 
⊢ ∃x:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ∀y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} . ((¬(x = y ∈ ℤ)) ⇒ (↑x L iy))
BY
{ (Thin (-1) THEN D -1) }

1
1. g : OrientedPlane
2. xs : {xs:Point List| geo-general-position(g;xs)} 
3. 2 < ||xs||
4. i : ℕ||xs||
5. j : ℕ||xs||
6. ¬(i = j ∈ ℤ)
7. ij ∈ Hull(xs)
8. hull-cmp(g;xs;i;j) ∈ comparison({k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} )
9. filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)) ∈ {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))}  List+
10. v : {k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
11. [%13] : (v ∈ filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)))
∧ (∀x∈filter(λk.((¬b(k =z i)) ∧b (¬b(k =z j)));upto(||xs||)).0 ≤ (hull-cmp(g;xs;i;j) x v))
⊢ ∃x:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} 
   ∀y:{k:ℕ||xs||| (¬(k = i ∈ ℤ)) ∧ (¬(k = j ∈ ℤ))} . ((¬(x = y ∈ ℤ)) ⇒ (↑x L iy))

---

Latex:

---

Latex:

1.  g  :  OrientedPlane
2.  xs  :  \{xs:Point  List|  geo-general-position(g;xs)\} 
3.  2  <  ||xs||
4.  i  :  \mBbbN{}||xs||
5.  j  :  \mBbbN{}||xs||
6.  \mneg{}(i  =  j)
7.  ij  \mmember{}  Hull(xs)
8.  hull-cmp(g;xs;i;j)  \mmember{}  comparison(\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  )
9.  filter(\mlambda{}k.((\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  i))  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  j)));upto(||xs||))  \mmember{}  \{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}    Li\000Cst\msupplus{}
10.  v  :  \{mx:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  | 
                  (mx  \mmember{}  filter(\mlambda{}k.((\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  i))  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  j)));upto(||xs||)))
                  \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}filter(\mlambda{}k.((\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  i))  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  j)));upto(||xs||)).
                            0  \mleq{}  (hull-cmp(g;xs;i;j)  x  mx))\} 
11.  comparison-max(hull-cmp(g;xs;i;j);filter(\mlambda{}k.((\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  i))  \mwedge{}\msubb{}  (\mneg{}\msubb{}(k  =\msubz{}  j)));upto(||xs||)))  =  v
\mvdash{}  \mexists{}x:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\} 
      \mforall{}y:\{k:\mBbbN{}||xs|||  (\mneg{}(k  =  i))  \mwedge{}  (\mneg{}(k  =  j))\}  .  ((\mneg{}(x  =  y))  {}\mRightarrow{}  (\muparrow{}x  L  iy))


By

---

Latex:
(Thin  (-1)  THEN  D  -1)

---

Home Index