---

Step * 1 1 2 1 of Lemma ip-extend-lemma


1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : {b:Point(rv)| a # b} 
4. dcd : {d:ℝ| r0 ≤ d} 
5. r0 < ||a - b||
6. r0 ≤ dcd
7. (-(dcd)/||a - b||) = (r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||))
8. a ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
⇒ b ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
9. a # (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
10. r0 < (||a - b|| + dcd)
⊢ ∃t:ℝ. ((t ∈ [r0, r1]) ∧ b ≡ t*a + r1 - t*(||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a)
BY
{ (D 0 With ⌜(dcd/||a - b|| + dcd)⌝  THEN Auto) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : {b:Point(rv)| a # b} 
4. dcd : {d:ℝ| r0 ≤ d} 
5. r0 < ||a - b||
6. r0 ≤ dcd
7. (-(dcd)/||a - b||) = (r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||))
8. a ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
⇒ b ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
9. a # (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
10. r0 < (||a - b|| + dcd)
⊢ (dcd/||a - b|| + dcd) ∈ [r0, r1]

2
1. rv : InnerProductSpace
2. a : Point(rv)
3. b : {b:Point(rv)| a # b} 
4. dcd : {d:ℝ| r0 ≤ d} 
5. r0 < ||a - b||
6. r0 ≤ dcd
7. (-(dcd)/||a - b||) = (r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||))
8. a ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
⇒ b ≡ (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
9. a # (||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b|| + dcd/||a - b||)*a
10. r0 < (||a - b|| + dcd)
11. (dcd/||a - b|| + dcd) ∈ [r0, r1]
⊢ b ≡ (dcd/||a - b|| + dcd)*a + r1 - (dcd/||a - b|| + dcd)*(||a - b|| + dcd/||a - b||)*b + r1 - (||a - b||
+ dcd/||a - b||)*a

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  a  :  Point(rv)
3.  b  :  \{b:Point(rv)|  a  \#  b\} 
4.  dcd  :  \{d:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  d\} 
5.  r0  <  ||a  -  b||
6.  r0  \mleq{}  dcd
7.  (-(dcd)/||a  -  b||)  =  (r1  -  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||))
8.  a  \mequiv{}  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*b  +  r1  -  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*a
{}\mRightarrow{}  b  \mequiv{}  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*b  +  r1  -  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*a
9.  a  \#  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*b  +  r1  -  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*a
10.  r0  <  (||a  -  b||  +  dcd)
\mvdash{}  \mexists{}t:\mBbbR{}
      ((t  \mmember{}  [r0,  r1])
      \mwedge{}  b  \mequiv{}  t*a  +  r1  -  t*(||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*b  +  r1  -  (||a  -  b||  +  dcd/||a  -  b||)*a)


By

---

Latex:
(D  0  With  \mkleeneopen{}(dcd/||a  -  b||  +  dcd)\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index