---

Step * 1 of Lemma kernel-trans-from-kernel


1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
10. h : {h:Point| h ⋅ e = r0} 
11. t : ℝ
12. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
13. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (g h1 t1 ≠ g h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
14. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
⊢ ρ(h;t) = (f h t)
BY
{ (RepUR ``trans-kernel trans-from-kernel trans-apply`` 0
   THEN (Assert h ⋅ e = r0 BY
               (DVar `h' THEN Unhide THEN Auto))
   THEN DVar `h'
   THEN Thin (-3)
   THEN (Assert h - h ⋅ e*e ⋅ e = r0 BY
               (RWW "rv-ip-sub rv-ip-mul -1" 0 THEN Auto))) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point| e^2 = r1} 
3. f : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
4. g : {h:Point| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ ⟶ ℝ
5. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (f h1 t1 ≠ f h2 t2 ⇒ (h1 # h2 ∨ t1 ≠ t2))
6. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ((f h r0) = r0)
7. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  ((t1 < t2) ⇒ ((f h t1) < (f h t2)))
8. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ∃t:ℝ. ((f h t) = r)
9. ∀h:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀r:ℝ.  ((f h (g h r)) = r)
10. h : Point
11. [%22] : h ⋅ e = r0
12. t : ℝ
13. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((f h1 t1) = (f h2 t2)))
14. ∀h1,h2:{h:Point| h ⋅ e = r0} . ∀t1,t2:ℝ.  (h1 ≡ h2 ⇒ (t1 = t2) ⇒ ((g h1 t1) = (g h2 t2)))
15. h ⋅ e = r0
16. h - h ⋅ e*e ⋅ e = r0
⊢ h - h ⋅ e*e + f h - h ⋅ e*e ((g h - h ⋅ e*e h ⋅ e) + t)*e ⋅ e = (f h t)

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  \{e:Point|  e\^{}2  =  r1\} 
3.  f  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
4.  g  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
5.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (f  h1  t1  \mneq{}  f  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
6.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  ((f  h  r0)  =  r0)
7.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    ((t1  <  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h  t1)  <  (f  h  t2)))
8.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    \mexists{}t:\mBbbR{}.  ((f  h  t)  =  r)
9.  \mforall{}h:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}r:\mBbbR{}.    ((f  h  (g  h  r))  =  r)
10.  h  :  \{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\} 
11.  t  :  \mBbbR{}
12.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((f  h1  t1)  =  (f  h2  t2)))
13.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (g  h1  t1  \mneq{}  g  h2  t2  {}\mRightarrow{}  (h1  \#  h2  \mvee{}  t1  \mneq{}  t2))
14.  \mforall{}h1,h2:\{h:Point|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}t1,t2:\mBbbR{}.    (h1  \mequiv{}  h2  {}\mRightarrow{}  (t1  =  t2)  {}\mRightarrow{}  ((g  h1  t1)  =  (g  h2  t2)))
\mvdash{}  \mrho{}(h;t)  =  (f  h  t)


By

---

Latex:
(RepUR  ``trans-kernel  trans-from-kernel  trans-apply``  0
  THEN  (Assert  h  \mcdot{}  e  =  r0  BY
                          (DVar  `h'  THEN  Unhide  THEN  Auto))
  THEN  DVar  `h'
  THEN  Thin  (-3)
  THEN  (Assert  h  -  h  \mcdot{}  e*e  \mcdot{}  e  =  r0  BY
                          (RWW  "rv-ip-sub  rv-ip-mul  -1"  0  THEN  Auto)))

---

Home Index