---

Step * 2 1 1 1 of Lemma separable-translation-group_iff


1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point(rv)| e^2 = r1} 
3. T : ℝ ⟶ Point(rv) ⟶ Point(rv)
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. ∀a:ℝ. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} .  (a ≠ r0 ⇒ (r0 < ||T_a(h) - h||))
6. ∀a,b:ℝ. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} .
     (a ≠ r0 ⇒ b ≠ r0 ⇒ ((||T_a(h) - h||/||T_b(h) - h||) = (||T_a(0)||/||T_b(0)||)))
7. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀a:ℝ.  T_a(h) - h ≡ ρ(h;a)*e
⊢ separable-kernel(rv;e;λh,t. ρ(h;t))
BY
{ ((D 0 With ⌜λt.ρ(0;t)⌝  THENA Auto) THEN Reduce 0) }

1
1. rv : InnerProductSpace
2. e : {e:Point(rv)| e^2 = r1} 
3. T : ℝ ⟶ Point(rv) ⟶ Point(rv)
4. translation-group-fun(rv;e;T)
5. ∀a:ℝ. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} .  (a ≠ r0 ⇒ (r0 < ||T_a(h) - h||))
6. ∀a,b:ℝ. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} .
     (a ≠ r0 ⇒ b ≠ r0 ⇒ ((||T_a(h) - h||/||T_b(h) - h||) = (||T_a(0)||/||T_b(0)||)))
7. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀a:ℝ.  T_a(h) - h ≡ ρ(h;a)*e
⊢ ∃psi:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0}  ⟶ ℝ. ∀h:{h:Point(rv)| h ⋅ e = r0} . ∀t:ℝ.  (ρ(h;t) = (ρ(0;t) * (psi h)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  rv  :  InnerProductSpace
2.  e  :  \{e:Point(rv)|  e\^{}2  =  r1\} 
3.  T  :  \mBbbR{}  {}\mrightarrow{}  Point(rv)  {}\mrightarrow{}  Point(rv)
4.  translation-group-fun(rv;e;T)
5.  \mforall{}a:\mBbbR{}.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .    (a  \mneq{}  r0  {}\mRightarrow{}  (r0  <  ||T\_a(h)  -  h||))
6.  \mforall{}a,b:\mBbbR{}.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .
          (a  \mneq{}  r0  {}\mRightarrow{}  b  \mneq{}  r0  {}\mRightarrow{}  ((||T\_a(h)  -  h||/||T\_b(h)  -  h||)  =  (||T\_a(0)||/||T\_b(0)||)))
7.  \mforall{}h:\{h:Point(rv)|  h  \mcdot{}  e  =  r0\}  .  \mforall{}a:\mBbbR{}.    T\_a(h)  -  h  \mequiv{}  \mrho{}(h;a)*e
\mvdash{}  separable-kernel(rv;e;\mlambda{}h,t.  \mrho{}(h;t))


By

---

Latex:
((D  0  With  \mkleeneopen{}\mlambda{}t.\mrho{}(0;t)\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  Reduce  0)

---

Home Index