---

Step * 1 1 1 1 of Lemma free-iso-int_wf


1. S : Type
2. s : S
3. ∀x,y:S.  (x = y ∈ S)
4. λx.Σ(p∈x). let k,s = p 
              in k * 1 ∈ free-vs(ℤ-rng;S) ⟶ ℤ
5. λk.{<k * 1, s>} ∈ ℤ ⟶ free-vs(ℤ-rng;S)
6. λb.Ax ∈ ∀a:Point(free-vs(ℤ-rng;S)). ({<Σ(p∈a). let k,s = p in k * 1 * 1, s>} = a ∈ Point(free-vs(ℤ-rng;S)))
7. λa.Ax ∈ ∀b:Point(ℤ). (Σ(p∈{<b * 1, s>}). let k,s = p in k * 1 = b ∈ Point(ℤ))
⊢ <λx.Σ(p∈x). let k,s = p in k * 1, λk.{<k * 1, s>}, λb.Ax, λa.Ax>
= <λx.Σ(p∈x). let k,s = p in k, λk.{<k, s>}, λb.Ax, λa.Ax>
∈ (f:free-vs(ℤ-rng;S) ⟶ ℤ
  × g:ℤ ⟶ free-vs(ℤ-rng;S)
  × ((∀a:Point(free-vs(ℤ-rng;S)). ((g (f a)) = a ∈ Point(free-vs(ℤ-rng;S))))
    ∧ (∀b:Point(ℤ). ((f (g b)) = b ∈ Point(ℤ)))))
BY
{ (EqCD THENA Auto) }

1
.....subterm..... T:t
1:n
1. S : Type
2. s : S
3. ∀x,y:S.  (x = y ∈ S)
4. λx.Σ(p∈x). let k,s = p 
              in k * 1 ∈ free-vs(ℤ-rng;S) ⟶ ℤ
5. λk.{<k * 1, s>} ∈ ℤ ⟶ free-vs(ℤ-rng;S)
6. λb.Ax ∈ ∀a:Point(free-vs(ℤ-rng;S)). ({<Σ(p∈a). let k,s = p in k * 1 * 1, s>} = a ∈ Point(free-vs(ℤ-rng;S)))
7. λa.Ax ∈ ∀b:Point(ℤ). (Σ(p∈{<b * 1, s>}). let k,s = p in k * 1 = b ∈ Point(ℤ))
⊢ (λx.Σ(p∈x). let k,s = p in k * 1) = (λx.Σ(p∈x). let k,s = p in k) ∈ free-vs(ℤ-rng;S) ⟶ ℤ

2
.....subterm..... T:t
2:n
1. S : Type
2. s : S
3. ∀x,y:S.  (x = y ∈ S)
4. λx.Σ(p∈x). let k,s = p 
              in k * 1 ∈ free-vs(ℤ-rng;S) ⟶ ℤ
5. λk.{<k * 1, s>} ∈ ℤ ⟶ free-vs(ℤ-rng;S)
6. λb.Ax ∈ ∀a:Point(free-vs(ℤ-rng;S)). ({<Σ(p∈a). let k,s = p in k * 1 * 1, s>} = a ∈ Point(free-vs(ℤ-rng;S)))
7. λa.Ax ∈ ∀b:Point(ℤ). (Σ(p∈{<b * 1, s>}). let k,s = p in k * 1 = b ∈ Point(ℤ))
⊢ <λk.{<k * 1, s>}, λb.Ax, λa.Ax>
= <λk.{<k, s>}, λb.Ax, λa.Ax>
∈ (g:ℤ ⟶ free-vs(ℤ-rng;S) × ((∀a:Point(free-vs(ℤ-rng;S))
                                 ((g ((λx.Σ(p∈x). let k,s = p in k * 1) a)) = a ∈ Point(free-vs(ℤ-rng;S))))
                             ∧ (∀b:Point(ℤ). (((λx.Σ(p∈x). let k,s = p in k * 1) (g b)) = b ∈ Point(ℤ)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  S  :  Type
2.  s  :  S
3.  \mforall{}x,y:S.    (x  =  y)
4.  \mlambda{}x.\mSigma{}(p\mmember{}x).  let  k,s  =  p 
                            in  k  *  1  \mmember{}  free-vs(\mBbbZ{}-rng;S)  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
5.  \mlambda{}k.\{<k  *  1,  s>\}  \mmember{}  \mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  free-vs(\mBbbZ{}-rng;S)
6.  \mlambda{}b.Ax  \mmember{}  \mforall{}a:Point(free-vs(\mBbbZ{}-rng;S)).  (\{<\mSigma{}(p\mmember{}a).  let  k,s  =  p  in  k  *  1  *  1,  s>\}  =  a)
7.  \mlambda{}a.Ax  \mmember{}  \mforall{}b:Point(\mBbbZ{}).  (\mSigma{}(p\mmember{}\{<b  *  1,  s>\}).  let  k,s  =  p  in  k  *  1  =  b)
\mvdash{}  <\mlambda{}x.\mSigma{}(p\mmember{}x).  let  k,s  =  p  in  k  *  1,  \mlambda{}k.\{<k  *  1,  s>\},  \mlambda{}b.Ax,  \mlambda{}a.Ax>
=  <\mlambda{}x.\mSigma{}(p\mmember{}x).  let  k,s  =  p  in  k,  \mlambda{}k.\{<k,  s>\},  \mlambda{}b.Ax,  \mlambda{}a.Ax>


By

---

Latex:
(EqCD  THENA  Auto)

---

Home Index