---

Step * 1 1 1 1 1 1 of Lemma free-vs-unique


1. S : Type
2. K : CRng
3. V : VectorSpace(K)
4. i : S ⟶ Point(V)
5. ∀vs:VectorSpace(K). ∀f:S ⟶ Point(vs).  ∃!h:V ⟶ vs. ∀s:S. ((h (i s)) = (f s) ∈ Point(vs))
6. h : free-vs(K;S) ⟶ V
7. ∀s:S. ((h <s>) = (i s) ∈ Point(V))
8. f : V ⟶ free-vs(K;S)
9. ∀s:S. ((f (i s)) = <s> ∈ Point(free-vs(K;S)))
10. h1 : free-vs(K;S) ⟶ free-vs(K;S)
11. ∀s:S. ((h1 <s>) = ((λs.<s>) s) ∈ Point(free-vs(K;S)))
12. ∀y:free-vs(K;S) ⟶ free-vs(K;S)
      ((∀s:S. ((y <s>) = ((λs.<s>) s) ∈ Point(free-vs(K;S)))) ⇒ (y = h1 ∈ free-vs(K;S) ⟶ free-vs(K;S)))
13. (λx.x) = h1 ∈ free-vs(K;S) ⟶ free-vs(K;S)
14. (f o h) = h1 ∈ free-vs(K;S) ⟶ free-vs(K;S)
⊢ V ≅ free-vs(K;S)
BY
{ ((Assert (f o h) = (λx.x) ∈ free-vs(K;S) ⟶ free-vs(K;S) BY
          Eq)
   THEN RepeatFor 2 (Thin (-2))
   THEN (EqTypeHD (-1) THENA Auto)
   THEN Thin (-1)
   THEN RepeatFor 3 (Thin (-2))) }

1
1. S : Type
2. K : CRng
3. V : VectorSpace(K)
4. i : S ⟶ Point(V)
5. ∀vs:VectorSpace(K). ∀f:S ⟶ Point(vs).  ∃!h:V ⟶ vs. ∀s:S. ((h (i s)) = (f s) ∈ Point(vs))
6. h : free-vs(K;S) ⟶ V
7. ∀s:S. ((h <s>) = (i s) ∈ Point(V))
8. f : V ⟶ free-vs(K;S)
9. ∀s:S. ((f (i s)) = <s> ∈ Point(free-vs(K;S)))
10. (f o h) = (λx.x) ∈ (Point(free-vs(K;S)) ⟶ Point(free-vs(K;S)))
⊢ V ≅ free-vs(K;S)

---

Latex:

---

Latex:

1.  S  :  Type
2.  K  :  CRng
3.  V  :  VectorSpace(K)
4.  i  :  S  {}\mrightarrow{}  Point(V)
5.  \mforall{}vs:VectorSpace(K).  \mforall{}f:S  {}\mrightarrow{}  Point(vs).    \mexists{}!h:V  {}\mrightarrow{}  vs.  \mforall{}s:S.  ((h  (i  s))  =  (f  s))
6.  h  :  free-vs(K;S)  {}\mrightarrow{}  V
7.  \mforall{}s:S.  ((h  <s>)  =  (i  s))
8.  f  :  V  {}\mrightarrow{}  free-vs(K;S)
9.  \mforall{}s:S.  ((f  (i  s))  =  <s>)
10.  h1  :  free-vs(K;S)  {}\mrightarrow{}  free-vs(K;S)
11.  \mforall{}s:S.  ((h1  <s>)  =  ((\mlambda{}s.<s>)  s))
12.  \mforall{}y:free-vs(K;S)  {}\mrightarrow{}  free-vs(K;S).  ((\mforall{}s:S.  ((y  <s>)  =  ((\mlambda{}s.<s>)  s)))  {}\mRightarrow{}  (y  =  h1))
13.  (\mlambda{}x.x)  =  h1
14.  (f  o  h)  =  h1
\mvdash{}  V  \mcong{}  free-vs(K;S)


By

---

Latex:
((Assert  (f  o  h)  =  (\mlambda{}x.x)  BY
                Eq)
  THEN  RepeatFor  2  (Thin  (-2))
  THEN  (EqTypeHD  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  Thin  (-1)
  THEN  RepeatFor  3  (Thin  (-2)))

---

Home Index