---

Step * 1 of Lemma remove-singularity-mfun


1. X : Type
2. d : metric(X)
3. k : ℕ
4. f : {p:ℝ^k| r0 < ||p||}  ⟶ X
5. z : X
6. ∃c:{c:ℝ| r0 ≤ c} . ∀m:ℕ+. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  ((||p|| ≤ (r(4)/r(m))) ⇒ (mdist(d;f p;z) ≤ (c/r(m))))
7. mcomplete(X with d)
8. g : ℝ^k ⟶ X
9. ∀p:ℝ^k. (req-vec(k;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ z)
10. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} . g p ≡ f p
11. ∀p:ℝ^k. (req-vec(k;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ z)
12. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} . g p ≡ f p
13. ∀x1,x2:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  (x1 ≡ x2 ⇒ f x1 ≡ f x2)
14. x1 : ℝ^k
15. x2 : ℝ^k
16. x1 ≡ x2
⊢ g x1 ≡ g x2
BY
{ ((StableCases ⌜r0 < ||x1||⌝⋅ THENA Auto) THEN Try ((FLemma `not-rless` [-1] THENA Auto))) }

1
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. k : ℕ
4. f : {p:ℝ^k| r0 < ||p||}  ⟶ X
5. z : X
6. ∃c:{c:ℝ| r0 ≤ c} . ∀m:ℕ+. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  ((||p|| ≤ (r(4)/r(m))) ⇒ (mdist(d;f p;z) ≤ (c/r(m))))
7. mcomplete(X with d)
8. g : ℝ^k ⟶ X
9. ∀p:ℝ^k. (req-vec(k;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ z)
10. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} . g p ≡ f p
11. ∀p:ℝ^k. (req-vec(k;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ z)
12. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} . g p ≡ f p
13. ∀x1,x2:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  (x1 ≡ x2 ⇒ f x1 ≡ f x2)
14. x1 : ℝ^k
15. x2 : ℝ^k
16. x1 ≡ x2
17. r0 < ||x1||
⊢ g x1 ≡ g x2

2
1. X : Type
2. d : metric(X)
3. k : ℕ
4. f : {p:ℝ^k| r0 < ||p||}  ⟶ X
5. z : X
6. ∃c:{c:ℝ| r0 ≤ c} . ∀m:ℕ+. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  ((||p|| ≤ (r(4)/r(m))) ⇒ (mdist(d;f p;z) ≤ (c/r(m))))
7. mcomplete(X with d)
8. g : ℝ^k ⟶ X
9. ∀p:ℝ^k. (req-vec(k;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ z)
10. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} . g p ≡ f p
11. ∀p:ℝ^k. (req-vec(k;p;λi.r0) ⇒ g p ≡ z)
12. ∀p:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} . g p ≡ f p
13. ∀x1,x2:{p:ℝ^k| r0 < ||p||} .  (x1 ≡ x2 ⇒ f x1 ≡ f x2)
14. x1 : ℝ^k
15. x2 : ℝ^k
16. x1 ≡ x2
17. ¬(r0 < ||x1||)
18. ||x1|| ≤ r0
⊢ g x1 ≡ g x2

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  d  :  metric(X)
3.  k  :  \mBbbN{}
4.  f  :  \{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\}    {}\mrightarrow{}  X
5.  z  :  X
6.  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  \mleq{}  c\} 
        \mforall{}m:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\}  .    ((||p||  \mleq{}  (r(4)/r(m)))  {}\mRightarrow{}  (mdist(d;f  p;z)  \mleq{}  (c/r(m))))
7.  mcomplete(X  with  d)
8.  g  :  \mBbbR{}\^{}k  {}\mrightarrow{}  X
9.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}k.  (req-vec(k;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  z)
10.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  f  p
11.  \mforall{}p:\mBbbR{}\^{}k.  (req-vec(k;p;\mlambda{}i.r0)  {}\mRightarrow{}  g  p  \mequiv{}  z)
12.  \mforall{}p:\{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\}  .  g  p  \mequiv{}  f  p
13.  \mforall{}x1,x2:\{p:\mBbbR{}\^{}k|  r0  <  ||p||\}  .    (x1  \mequiv{}  x2  {}\mRightarrow{}  f  x1  \mequiv{}  f  x2)
14.  x1  :  \mBbbR{}\^{}k
15.  x2  :  \mBbbR{}\^{}k
16.  x1  \mequiv{}  x2
\mvdash{}  g  x1  \mequiv{}  g  x2


By

---

Latex:
((StableCases  \mkleeneopen{}r0  <  ||x1||\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)  THEN  Try  ((FLemma  `not-rless`  [-1]  THENA  Auto)))

---

Home Index