---

Step * 3 of Lemma IVT-from-connected

.....antecedent..... 
1. ∀u,v:ℝ.  Connected({x:ℝ| x ∈ [u, v]} )
2. u : ℝ
3. ∀v:ℝ. Connected({x:ℝ| x ∈ [u, v]} )
4. v : ℝ
5. ∀[A,B:{x:ℝ| x ∈ [u, v]}  ⟶ ℙ].
     ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} | x = y} .  (A[y] ⇒ A[x]))
     ⇒ (∀x:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} | x = y} .  (B[y] ⇒ B[x]))
     ⇒ (∃a:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . A[a])
     ⇒ (∃b:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . B[b])
     ⇒ (∀r:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . (A[r] ∨ B[r]))
     ⇒ (∃r:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . (A[r] ∧ B[r])))
6. f : [u, v] ⟶ℝ
7. u ≤ v
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
9. f(u) < r0
10. r0 < f(v)
11. e : {e:ℝ| r0 < e} 
⊢ ∀r:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . ((f(r) < e) ∨ (-(e) < f(r)))
BY
{ ((Auto THEN InstLemma `rless-cases` [⌜-(e)⌝;⌜e⌝;⌜f(r)⌝]⋅) THEN Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. ∀u,v:ℝ.  Connected({x:ℝ| x ∈ [u, v]} )
2. u : ℝ
3. ∀v:ℝ. Connected({x:ℝ| x ∈ [u, v]} )
4. v : ℝ
5. ∀[A,B:{x:ℝ| x ∈ [u, v]}  ⟶ ℙ].
     ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} | x = y} .  (A[y] ⇒ A[x]))
     ⇒ (∀x:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} | x = y} .  (B[y] ⇒ B[x]))
     ⇒ (∃a:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . A[a])
     ⇒ (∃b:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . B[b])
     ⇒ (∀r:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . (A[r] ∨ B[r]))
     ⇒ (∃r:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . (A[r] ∧ B[r])))
6. f : [u, v] ⟶ℝ
7. u ≤ v
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
9. f(u) < r0
10. r0 < f(v)
11. e : {e:ℝ| r0 < e} 
12. r : {x:ℝ| x ∈ [u, v]} 
⊢ -(e) < e

2
1. ∀u,v:ℝ.  Connected({x:ℝ| x ∈ [u, v]} )
2. u : ℝ
3. ∀v:ℝ. Connected({x:ℝ| x ∈ [u, v]} )
4. v : ℝ
5. ∀[A,B:{x:ℝ| x ∈ [u, v]}  ⟶ ℙ].
     ((∀x:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} | x = y} .  (A[y] ⇒ A[x]))
     ⇒ (∀x:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . ∀y:{y:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} | x = y} .  (B[y] ⇒ B[x]))
     ⇒ (∃a:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . A[a])
     ⇒ (∃b:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . B[b])
     ⇒ (∀r:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . (A[r] ∨ B[r]))
     ⇒ (∃r:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} . (A[r] ∧ B[r])))
6. f : [u, v] ⟶ℝ
7. u ≤ v
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [u, v]} .  ((x = y) ⇒ (f(x) = f(y)))
9. f(u) < r0
10. r0 < f(v)
11. e : {e:ℝ| r0 < e} 
12. r : {x:ℝ| x ∈ [u, v]} 
13. (-(e) < f(r)) ∨ (f(r) < e)
⊢ (f(r) < e) ∨ (-(e) < f(r))

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  \mforall{}u,v:\mBbbR{}.    Connected(\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  )
2.  u  :  \mBbbR{}
3.  \mforall{}v:\mBbbR{}.  Connected(\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  )
4.  v  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}[A,B:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
          ((\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  |  x  =  y\}  .    (A[y]  {}\mRightarrow{}  A[x]))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  .  \mforall{}y:\{y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  |  x  =  y\}  .    (B[y]  {}\mRightarrow{}  B[x]))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}a:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  .  A[a])
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}b:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  .  B[b])
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}r:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  .  (A[r]  \mvee{}  B[r]))
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}r:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  .  (A[r]  \mwedge{}  B[r])))
6.  f  :  [u,  v]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
7.  u  \mleq{}  v
8.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f(x)  =  f(y)))
9.  f(u)  <  r0
10.  r0  <  f(v)
11.  e  :  \{e:\mBbbR{}|  r0  <  e\} 
\mvdash{}  \mforall{}r:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [u,  v]\}  .  ((f(r)  <  e)  \mvee{}  (-(e)  <  f(r)))


By

---

Latex:
((Auto  THEN  InstLemma  `rless-cases`  [\mkleeneopen{}-(e)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f(r)\mkleeneclose{}]\mcdot{})  THEN  Auto)

---

Home Index