---

Step * 1 of Lemma IVT-locally-non-constant-open


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. a < b
6. f[x] continuous for x ∈ [a, b]
7. ∀a',b':ℝ.  (((a < a') ∧ (a' < b') ∧ (b' < b)) ⇒ (∀c:ℝ. locally-non-constant(f;a';b';c)))
8. c : ℝ
9. f(a) < c
10. c < f(b)
⊢ ∃x:ℝ. (((a < x) ∧ (x < b)) ∧ (f(x) = c))
BY
{ Assert ⌜∃a':ℝ. (((a < a') ∧ (a' < b)) ∧ (f(a') < c))⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. a < b
6. f[x] continuous for x ∈ [a, b]
7. ∀a',b':ℝ.  (((a < a') ∧ (a' < b') ∧ (b' < b)) ⇒ (∀c:ℝ. locally-non-constant(f;a';b';c)))
8. c : ℝ
9. f(a) < c
10. c < f(b)
⊢ ∃a':ℝ. (((a < a') ∧ (a' < b)) ∧ (f(a') < c))

2
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. (a, b) ⊆ [a, b] 
5. a < b
6. f[x] continuous for x ∈ [a, b]
7. ∀a',b':ℝ.  (((a < a') ∧ (a' < b') ∧ (b' < b)) ⇒ (∀c:ℝ. locally-non-constant(f;a';b';c)))
8. c : ℝ
9. f(a) < c
10. c < f(b)
11. ∃a':ℝ. (((a < a') ∧ (a' < b)) ∧ (f(a') < c))
⊢ ∃x:ℝ. (((a < x) ∧ (x < b)) ∧ (f(x) = c))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
5.  a  <  b
6.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  \mforall{}a',b':\mBbbR{}.    (((a  <  a')  \mwedge{}  (a'  <  b')  \mwedge{}  (b'  <  b))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}c:\mBbbR{}.  locally-non-constant(f;a';b';c)))
8.  c  :  \mBbbR{}
9.  f(a)  <  c
10.  c  <  f(b)
\mvdash{}  \mexists{}x:\mBbbR{}.  (((a  <  x)  \mwedge{}  (x  <  b))  \mwedge{}  (f(x)  =  c))


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mexists{}a':\mBbbR{}.  (((a  <  a')  \mwedge{}  (a'  <  b))  \mwedge{}  (f(a')  <  c))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index