---

Step * 1 of Lemma IVT-strictly-increasing-open


1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
5. (a, b) ⊆ [a, b] 
6. f[x] strictly-increasing for x ∈ (a, b)
7. a' : ℝ
8. b' : ℝ
9. a < a'
10. a' < b'
11. b' < b
12. c : ℝ
⊢ locally-non-constant(f;a';b';c)
BY
{ (D 0 THEN Auto THEN (D 6 With ⌜u⌝  THENA Auto) THEN D -1 With ⌜v⌝  THEN Auto) }

1
1. a : ℝ
2. b : {b:ℝ| a < b} 
3. f : [a, b] ⟶ℝ
4. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [a, b]} .  ((x = y) ⇒ (f[x] = f[y]))
5. (a, b) ⊆ [a, b] 
6. a' : ℝ
7. b' : ℝ
8. a < a'
9. a' < b'
10. b' < b
11. c : ℝ
12. u : ℝ
13. v : ℝ
14. a' ≤ u
15. u < v
16. v ≤ b'
17. f[u] < f[v]
⊢ ∃z:ℝ. ((u ≤ z) ∧ (z ≤ v) ∧ f(z) ≠ c)

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \{b:\mBbbR{}|  a  <  b\} 
3.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [a,  b]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f[x]  =  f[y]))
5.  (a,  b)  \msubseteq{}  [a,  b] 
6.  f[x]  strictly-increasing  for  x  \mmember{}  (a,  b)
7.  a'  :  \mBbbR{}
8.  b'  :  \mBbbR{}
9.  a  <  a'
10.  a'  <  b'
11.  b'  <  b
12.  c  :  \mBbbR{}
\mvdash{}  locally-non-constant(f;a';b';c)


By

---

Latex:
(D  0  THEN  Auto  THEN  (D  6  With  \mkleeneopen{}u\mkleeneclose{}    THENA  Auto)  THEN  D  -1  With  \mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}    THEN  Auto)

---

Home Index