---

Step * 2 1 2 1 2 1 of Lemma Kummer-criterion


1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. x : ℕ ⟶ ℝ
3. lim n→∞.a[n] * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (c ≤ ((a[n] * x[n]/x[n + 1]) - a[n + 1]))))))
⇒ Σn.x[n]↓
4. N : ℕ
5. ∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n]))
6. ∀n:{N...}. (((a[n] * x[n]/x[n + 1]) - a[n + 1]) ≤ r0)
7. Σn.(r1/a[N + n])↑
8. ∀n:{N...}. ((a[n] * x[n]) ≤ (a[n + 1] * x[n + 1]))
9. d : ℤ
10. 0 < d
11. (a[N] * x[N]) ≤ (a[N + (d - 1)] * x[N + (d - 1)])
12. (a[N + (d - 1)] * x[N + (d - 1)]) ≤ (a[(N + (d - 1)) + 1] * x[(N + (d - 1)) + 1])
⊢ (a[N] * x[N]) ≤ (a[N + d] * x[N + d])
BY
{ (Subst' (N + (d - 1)) + 1 ~ N + d -1 THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.a[n]  *  x[n]  =  r0
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\} 
          \mexists{}N:\mBbbN{}
            ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  a[n])  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
            \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  a[n])  \mwedge{}  (c  \mleq{}  ((a[n]  *  x[n]/x[n  +  1])  -  a[n  +  1]))))))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  \mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  a[n])  \mwedge{}  (r0  <  x[n]))
6.  \mforall{}n:\{N...\}.  (((a[n]  *  x[n]/x[n  +  1])  -  a[n  +  1])  \mleq{}  r0)
7.  \mSigma{}n.(r1/a[N  +  n])\muparrow{}
8.  \mforall{}n:\{N...\}.  ((a[n]  *  x[n])  \mleq{}  (a[n  +  1]  *  x[n  +  1]))
9.  d  :  \mBbbZ{}
10.  0  <  d
11.  (a[N]  *  x[N])  \mleq{}  (a[N  +  (d  -  1)]  *  x[N  +  (d  -  1)])
12.  (a[N  +  (d  -  1)]  *  x[N  +  (d  -  1)])  \mleq{}  (a[(N  +  (d  -  1))  +  1]  *  x[(N  +  (d  -  1))  +  1])
\mvdash{}  (a[N]  *  x[N])  \mleq{}  (a[N  +  d]  *  x[N  +  d])


By

---

Latex:
(Subst'  (N  +  (d  -  1))  +  1  \msim{}  N  +  d  -1  THEN  Auto)

---

Home Index