---

Step * 2 1 2 2 1 of Lemma Kummer-criterion


1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. x : ℕ ⟶ ℝ
3. lim n→∞.a[n] * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (c ≤ ((a[n] * x[n]/x[n + 1]) - a[n + 1]))))))
⇒ Σn.x[n]↓
4. N : ℕ
5. ∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n]))
6. ∀n:{N...}. (((a[n] * x[n]/x[n + 1]) - a[n + 1]) ≤ r0)
7. Σn.(r1/a[N + n])↑
8. ∀n:{N...}. ((a[n] * x[n]) ≤ (a[n + 1] * x[n + 1]))
9. ∀d:ℕ. ((a[N] * x[N]) ≤ (a[N + d] * x[N + d]))
10. n : {N...}
⊢ (a[N] * x[N]) ≤ (a[n] * x[n])
BY
{ (InstHyp [⌜n - N⌝] (-2)⋅ THENA Auto) }

1
1. a : ℕ ⟶ ℝ
2. x : ℕ ⟶ ℝ
3. lim n→∞.a[n] * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (c ≤ ((a[n] * x[n]/x[n + 1]) - a[n + 1]))))))
⇒ Σn.x[n]↓
4. N : ℕ
5. ∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n]))
6. ∀n:{N...}. (((a[n] * x[n]/x[n + 1]) - a[n + 1]) ≤ r0)
7. Σn.(r1/a[N + n])↑
8. ∀n:{N...}. ((a[n] * x[n]) ≤ (a[n + 1] * x[n + 1]))
9. ∀d:ℕ. ((a[N] * x[N]) ≤ (a[N + d] * x[N + d]))
10. n : {N...}
11. (a[N] * x[N]) ≤ (a[N + (n - N)] * x[N + (n - N)])
⊢ (a[N] * x[N]) ≤ (a[n] * x[n])

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.a[n]  *  x[n]  =  r0
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\} 
          \mexists{}N:\mBbbN{}
            ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  a[n])  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
            \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  a[n])  \mwedge{}  (c  \mleq{}  ((a[n]  *  x[n]/x[n  +  1])  -  a[n  +  1]))))))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  \mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  a[n])  \mwedge{}  (r0  <  x[n]))
6.  \mforall{}n:\{N...\}.  (((a[n]  *  x[n]/x[n  +  1])  -  a[n  +  1])  \mleq{}  r0)
7.  \mSigma{}n.(r1/a[N  +  n])\muparrow{}
8.  \mforall{}n:\{N...\}.  ((a[n]  *  x[n])  \mleq{}  (a[n  +  1]  *  x[n  +  1]))
9.  \mforall{}d:\mBbbN{}.  ((a[N]  *  x[N])  \mleq{}  (a[N  +  d]  *  x[N  +  d]))
10.  n  :  \{N...\}
\mvdash{}  (a[N]  *  x[N])  \mleq{}  (a[n]  *  x[n])


By

---

Latex:
(InstHyp  [\mkleeneopen{}n  -  N\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index