Step * 2 2 of Lemma Kummer-criterion


1. : ℕ ⟶ ℝ
2. : ℕ ⟶ ℝ
3. lim n→∞.a[n] x[n] r0
 (∃c:{c:ℝr0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (c ≤ ((a[n] x[n]/x[n 1]) a[n 1]))))))
 Σn.x[n]↓
4. : ℕ
5. ∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n]))
6. ∀n:{N...}. (((a[n] x[n]/x[n 1]) a[n 1]) ≤ r0)
7. Σn.(r1/a[N n])↑
8. ∀n:{N...}. ((a[N] x[N]) ≤ (a[n] x[n]))
⊢ Σn.x[n]↑
BY
Assert ⌜Σn.x[N n]↑⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. : ℕ ⟶ ℝ
2. : ℕ ⟶ ℝ
3. lim n→∞.a[n] x[n] r0
 (∃c:{c:ℝr0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (c ≤ ((a[n] x[n]/x[n 1]) a[n 1]))))))
 Σn.x[n]↓
4. : ℕ
5. ∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n]))
6. ∀n:{N...}. (((a[n] x[n]/x[n 1]) a[n 1]) ≤ r0)
7. Σn.(r1/a[N n])↑
8. ∀n:{N...}. ((a[N] x[N]) ≤ (a[n] x[n]))
⊢ Σn.x[N n]↑

2
1. : ℕ ⟶ ℝ
2. : ℕ ⟶ ℝ
3. lim n→∞.a[n] x[n] r0
 (∃c:{c:ℝr0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (c ≤ ((a[n] x[n]/x[n 1]) a[n 1]))))))
 Σn.x[n]↓
4. : ℕ
5. ∀n:{N...}. ((r0 < a[n]) ∧ (r0 < x[n]))
6. ∀n:{N...}. (((a[n] x[n]/x[n 1]) a[n 1]) ≤ r0)
7. Σn.(r1/a[N n])↑
8. ∀n:{N...}. ((a[N] x[N]) ≤ (a[n] x[n]))
9. Σn.x[N n]↑
⊢ Σn.x[n]↑


Latex:


Latex:

1.  a  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
3.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.a[n]  *  x[n]  =  r0
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\} 
          \mexists{}N:\mBbbN{}
            ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  a[n])  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
            \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  a[n])  \mwedge{}  (c  \mleq{}  ((a[n]  *  x[n]/x[n  +  1])  -  a[n  +  1]))))))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
4.  N  :  \mBbbN{}
5.  \mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  a[n])  \mwedge{}  (r0  <  x[n]))
6.  \mforall{}n:\{N...\}.  (((a[n]  *  x[n]/x[n  +  1])  -  a[n  +  1])  \mleq{}  r0)
7.  \mSigma{}n.(r1/a[N  +  n])\muparrow{}
8.  \mforall{}n:\{N...\}.  ((a[N]  *  x[N])  \mleq{}  (a[n]  *  x[n]))
\mvdash{}  \mSigma{}n.x[n]\muparrow{}


By


Latex:
Assert  \mkleeneopen{}\mSigma{}n.x[N  +  n]\muparrow{}\mkleeneclose{}\mcdot{}




Home Index