---

Step * 2 of Lemma Raabe-test


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. lim n→∞.r(n) * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (c ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)))))))
⇒ Σn.x[n]↓
3. (∃N:ℕ
     ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
     ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
     ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑))
⇒ Σn.x[n]↑
4. L : ℝ
5. ∀n:ℕ. (r0 < x[n])
6. lim n→∞.r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1) = L
7. r1 < L
8. k : ℕ+
9. (r1/r(k)) < (L - r1)
10. r0 < (L - r1 - (r1/r(k)))
⊢ ∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
   ∃N:ℕ
    ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n]))) ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (c ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1))))))
BY
{ ((D -5 With ⌜k⌝  THENA Auto)
   THEN D -1
   THEN InstConcl [⌜L - r1 - (r1/r(k))⌝;⌜N + 1⌝]⋅
   THEN Auto
   THEN (Assert r0 < x[n + 1] BY
               Auto)
   THEN Auto) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. lim n→∞.r(n) * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (c ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)))))))
⇒ Σn.x[n]↓
3. (∃N:ℕ
     ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
     ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
     ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑))
⇒ Σn.x[n]↑
4. L : ℝ
5. ∀n:ℕ. (r0 < x[n])
6. r1 < L
7. k : ℕ+
8. (r1/r(k)) < (L - r1)
9. r0 < (L - r1 - (r1/r(k)))
10. N : ℕ
11. [%13] : ∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|(r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1)) - L| ≤ (r1/r(k))))
12. ∀n:{N + 1...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n]))
13. n : {N + 1...}
14. r0 < r(n)
15. r0 < x[n + 1]
⊢ (L - r1 - (r1/r(k))) ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1))

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.r(n)  *  x[n]  =  r0
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\} 
          \mexists{}N:\mBbbN{}
            ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
            \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (c  \mleq{}  ((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1)))))))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
3.  (\mexists{}N:\mBbbN{}
          ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
          \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  (((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1))  \mleq{}  r0))
          \mwedge{}  \mSigma{}n.(r1/r(N  +  n))\muparrow{}))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\muparrow{}
4.  L  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (r0  <  x[n])
6.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.r(n)  *  ((x[n]/x[n  +  1])  -  r1)  =  L
7.  r1  <  L
8.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
9.  (r1/r(k))  <  (L  -  r1)
10.  r0  <  (L  -  r1  -  (r1/r(k)))
\mvdash{}  \mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\} 
      \mexists{}N:\mBbbN{}
        ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
        \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (c  \mleq{}  ((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1))))))


By

---

Latex:
((D  -5  With  \mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}    THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}L  -  r1  -  (r1/r(k))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}N  +  1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  (Assert  r0  <  x[n  +  1]  BY
                          Auto)
  THEN  Auto)

---

Home Index