---

Step * 3 of Lemma Raabe-test


1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. lim n→∞.r(n) * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (c ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)))))))
⇒ Σn.x[n]↓
3. (∃N:ℕ
     ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
     ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
     ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑))
⇒ Σn.x[n]↑
4. L : ℝ
5. ∀n:ℕ. (r0 < x[n])
6. lim n→∞.r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1) = L
7. (r1 < L) ⇒ Σn.x[n]↓
8. L < r1
⊢ ∃N:ℕ
   ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
   ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
   ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑)
BY
{ ((InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜r1 - L⌝]⋅
    THENA Complete ((Auto THEN MemTypeCD THEN Auto THEN nRAdd ⌜L⌝ 0⋅ THEN Auto))
    )
   THEN ExRepD
   ) }

1
1. x : ℕ ⟶ ℝ
2. lim n→∞.r(n) * x[n] = r0
⇒ (∃c:{c:ℝ| r0 < c} 
     ∃N:ℕ
      ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
      ∧ (∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (c ≤ ((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)))))))
⇒ Σn.x[n]↓
3. (∃N:ℕ
     ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
     ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
     ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑))
⇒ Σn.x[n]↑
4. L : ℝ
5. ∀n:ℕ. (r0 < x[n])
6. lim n→∞.r(n) * ((x[n]/x[n + 1]) - r1) = L
7. (r1 < L) ⇒ Σn.x[n]↓
8. L < r1
9. k : ℕ+
10. (r1/r(k)) < (r1 - L)
⊢ ∃N:ℕ
   ((∀n:{N...}. ((r0 < r(n)) ∧ (r0 < x[n])))
   ∧ (∀n:{N...}. (((r(n) * x[n]/x[n + 1]) - r(n + 1)) ≤ r0))
   ∧ Σn.(r1/r(N + n))↑)

---

Latex:

---

Latex:

1.  x  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}
2.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.r(n)  *  x[n]  =  r0
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}c:\{c:\mBbbR{}|  r0  <  c\} 
          \mexists{}N:\mBbbN{}
            ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
            \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (c  \mleq{}  ((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1)))))))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
3.  (\mexists{}N:\mBbbN{}
          ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
          \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  (((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1))  \mleq{}  r0))
          \mwedge{}  \mSigma{}n.(r1/r(N  +  n))\muparrow{}))
{}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\muparrow{}
4.  L  :  \mBbbR{}
5.  \mforall{}n:\mBbbN{}.  (r0  <  x[n])
6.  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.r(n)  *  ((x[n]/x[n  +  1])  -  r1)  =  L
7.  (r1  <  L)  {}\mRightarrow{}  \mSigma{}n.x[n]\mdownarrow{}
8.  L  <  r1
\mvdash{}  \mexists{}N:\mBbbN{}
      ((\mforall{}n:\{N...\}.  ((r0  <  r(n))  \mwedge{}  (r0  <  x[n])))
      \mwedge{}  (\mforall{}n:\{N...\}.  (((r(n)  *  x[n]/x[n  +  1])  -  r(n  +  1))  \mleq{}  r0))
      \mwedge{}  \mSigma{}n.(r1/r(N  +  n))\muparrow{})


By

---

Latex:
((InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}r1  -  L\mkleeneclose{}]\mcdot{}
    THENA  Complete  ((Auto  THEN  MemTypeCD  THEN  Auto  THEN  nRAdd  \mkleeneopen{}L\mkleeneclose{}  0\mcdot{}  THEN  Auto))
    )
  THEN  ExRepD
  )

---

Home Index