---

Step * 1 2 1 1 of Lemma Rolles-theorem


1. a : ℝ
2. b : ℝ
3. a < b
4. f : [a, b] ⟶ℝ
5. f' : [a, b] ⟶ℝ
6. f'[x] continuous for x ∈ [a, b]
7. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [a, b]
8. f[a] = f[b]
9. e : ℝ
10. r0 < e
11. mc : |f'[x]| continuous for x ∈ [a, b]
12. icompact([a, b])
13. inf{|f'[x]||x ∈ [a, b]} ≤ r0
14. lower-bound(|f'[x]|(x∈[a, b]);inf{|f'[x]||x ∈ [a, b]})
15. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ |f'[x]|(x∈[a, b])) ∧ (x < (inf{|f'[x]||x ∈ [a, b]} + e)))))
16. x : ℝ
17. x@0 : ℝ
18. a ≤ x@0
19. x@0 ≤ b
20. |f'[x@0]| = x
21. x < (inf{|f'[x]||x ∈ [a, b]} + e)
22. x@0 ∈ [a, b]
⊢ |f'[x@0]| ≤ e
BY
{ ((RWO "13" (-2) THENA Auto) THEN nRNorm (-2) THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  b  :  \mBbbR{}
3.  a  <  b
4.  f  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  f'  :  [a,  b]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
6.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
7.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [a,  b]
8.  f[a]  =  f[b]
9.  e  :  \mBbbR{}
10.  r0  <  e
11.  mc  :  |f'[x]|  continuous  for  x  \mmember{}  [a,  b]
12.  icompact([a,  b])
13.  inf\{|f'[x]||x  \mmember{}  [a,  b]\}  \mleq{}  r0
14.  lower-bound(|f'[x]|(x\mmember{}[a,  b]);inf\{|f'[x]||x  \mmember{}  [a,  b]\})
15.  \mforall{}e:\mBbbR{}.  ((r0  <  e)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  |f'[x]|(x\mmember{}[a,  b]))  \mwedge{}  (x  <  (inf\{|f'[x]||x  \mmember{}  [a,  b]\}  +  e)))))
16.  x  :  \mBbbR{}
17.  x@0  :  \mBbbR{}
18.  a  \mleq{}  x@0
19.  x@0  \mleq{}  b
20.  |f'[x@0]|  =  x
21.  x  <  (inf\{|f'[x]||x  \mmember{}  [a,  b]\}  +  e)
22.  x@0  \mmember{}  [a,  b]
\mvdash{}  |f'[x@0]|  \mleq{}  e


By

---

Latex:
((RWO  "13"  (-2)  THENA  Auto)  THEN  nRNorm  (-2)  THEN  Auto)

---

Home Index