---

Step * 1 2 2 1 of Lemma Taylor-series-converges


1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. ∀r:{r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ (r < t)} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (a - t, a + t)
7. m : ℕ+
8. [%4] : icompact(i-approx((a - t, a + t);m))
9. icompact(i-approx((a - t, a + t);m + 1)) ∧ iproper(i-approx((a - t, a + t);m + 1))
10. ∀k@0:ℕ+
      ∃N:ℕ+
       ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx((a - t, a + t);m + 1)} . ∀k:{N...}.
         (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(k@0)))
11. ∀x:ℝ. ((x ∈ i-approx((a - t, a + t);m)) ⇒ (x ∈ i-approx((a - t, a + t);m + 1)))
⊢ ∀k@0:ℕ+
    ∃N:ℕ+
     ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx((a - t, a + t);m)} . ∀k:{N...}.
       (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(k@0)))
BY
{ (RepUR ``i-approx`` -2 THEN RepUR ``i-approx`` -1 THEN RepUR ``i-approx`` 0) }

1
1. a : ℝ
2. t : {t:ℝ| r0 < t} 
3. F : ℕ ⟶ (a - t, a + t) ⟶ℝ
4. ∀k:ℕ. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (a - t, a + t)} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
5. infinite-deriv-seq((a - t, a + t);i,x.F[i;x])
6. ∀r:{r:ℝ| (r0 ≤ r) ∧ (r < t)} . lim k→∞.r^k * (F[k + 1;x]/r((k)!)) = λx.r0 for x ∈ (a - t, a + t)
7. m : ℕ+
8. [%4] : icompact(i-approx((a - t, a + t);m))
9. icompact(i-approx((a - t, a + t);m + 1)) ∧ iproper(i-approx((a - t, a + t);m + 1))
10. ∀k@0:ℕ+
      ∃N:ℕ+
       ∀x:{x:ℝ| (((a - t) + (r1/r(m + 1))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((a + t) - (r1/r(m + 1))))} . ∀k:{N...}.
         (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(k@0)))
11. ∀x:ℝ
      (((((a - t) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((a + t) - (r1/r(m)))))
      ⇒ ((((a - t) + (r1/r(m + 1))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((a + t) - (r1/r(m + 1))))))
⊢ ∀k@0:ℕ+
    ∃N:ℕ+
     ∀x:{x:ℝ| (((a - t) + (r1/r(m))) ≤ x) ∧ (x ≤ ((a + t) - (r1/r(m))))} . ∀k:{N...}.
       (|Σ{(F[i;a]/r((i)!)) * x - a^i | 0≤i≤k} - F[0;x]| ≤ (r1/r(k@0)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  a  :  \mBbbR{}
2.  t  :  \{t:\mBbbR{}|  r0  <  t\} 
3.  F  :  \mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  (a  -  t,  a  +  t)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}k:\mBbbN{}.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
5.  infinite-deriv-seq((a  -  t,  a  +  t);i,x.F[i;x])
6.  \mforall{}r:\{r:\mBbbR{}|  (r0  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  <  t)\}  .  lim  k\mrightarrow{}\minfty{}.r\^{}k  *  (F[k  +  1;x]/r((k)!))  =  \mlambda{}x.r0  for  x  \mmember{}  (a  -  t,  a  +  t)
7.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
8.  [\%4]  :  icompact(i-approx((a  -  t,  a  +  t);m))
9.  icompact(i-approx((a  -  t,  a  +  t);m  +  1))  \mwedge{}  iproper(i-approx((a  -  t,  a  +  t);m  +  1))
10.  \mforall{}k@0:\mBbbN{}\msupplus{}
            \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
              \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx((a  -  t,  a  +  t);m  +  1)\}  .  \mforall{}k:\{N...\}.
                  (|\mSigma{}\{(F[i;a]/r((i)!))  *  x  -  a\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  -  F[0;x]|  \mleq{}  (r1/r(k@0)))
11.  \mforall{}x:\mBbbR{}.  ((x  \mmember{}  i-approx((a  -  t,  a  +  t);m))  {}\mRightarrow{}  (x  \mmember{}  i-approx((a  -  t,  a  +  t);m  +  1)))
\mvdash{}  \mforall{}k@0:\mBbbN{}\msupplus{}
        \mexists{}N:\mBbbN{}\msupplus{}
          \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx((a  -  t,  a  +  t);m)\}  .  \mforall{}k:\{N...\}.
              (|\mSigma{}\{(F[i;a]/r((i)!))  *  x  -  a\^{}i  |  0\mleq{}i\mleq{}k\}  -  F[0;x]|  \mleq{}  (r1/r(k@0)))


By

---

Latex:
(RepUR  ``i-approx``  -2  THEN  RepUR  ``i-approx``  -1  THEN  RepUR  ``i-approx``  0)

---

Home Index