---

Step * 1 1 1 3 of Lemma Taylor-theorem-case1

.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. n : ℕ
3. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀b:{a:ℝ| a ∈ I} 
     ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
     ⇒ d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I)
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I
10. b - a ≠ r0
11. e : ℝ
12. r0 < e
13. R : ℝ
14. Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = R ∈ ℝ
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. rmin(a;b) < rmax(a;b)
⊢ (F[0;b] - Taylor-approx(n;rmin(a;b);b;k,x.F[k;x]) + (R * (b - rmin(a;b))/b - a))
= (F[0;b] - Taylor-approx(n;rmax(a;b);b;k,x.F[k;x]) + (R * (b - rmax(a;b))/b - a))
BY
{ (InstLemma `rmin-max-cases` [⌜a⌝;⌜b⌝]⋅ THENA Auto) }

1
.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. n : ℕ
3. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀b:{a:ℝ| a ∈ I} 
     ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
     ⇒ d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I)
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I
10. b - a ≠ r0
11. e : ℝ
12. r0 < e
13. R : ℝ
14. Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = R ∈ ℝ
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. rmin(a;b) < rmax(a;b)
⊢ a ≠ b

2
1. I : Interval
2. n : ℕ
3. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀b:{a:ℝ| a ∈ I} 
     ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
     ⇒ d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I)
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I
10. b - a ≠ r0
11. e : ℝ
12. r0 < e
13. R : ℝ
14. Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = R ∈ ℝ
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. rmin(a;b) < rmax(a;b)
17. ((rmin(a;b) = a) ∧ (rmax(a;b) = b)) ∨ ((rmin(a;b) = b) ∧ (rmax(a;b) = a))
⊢ (F[0;b] - Taylor-approx(n;rmin(a;b);b;k,x.F[k;x]) + (R * (b - rmin(a;b))/b - a))
= (F[0;b] - Taylor-approx(n;rmax(a;b);b;k,x.F[k;x]) + (R * (b - rmax(a;b))/b - a))

---

Latex:

---

Latex:
.....antecedent..... 
1.  I  :  Interval
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}b:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
          ((\mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y])))
          {}\mRightarrow{}  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
          {}\mRightarrow{}  d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da  =  \mlambda{}x.b  -  x\^{}n  *  (F[n  +  1;x]/r((n)!))  on  I)
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
9.  d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da  =  \mlambda{}x.b  -  x\^{}n  *  (F[n  +  1;x]/r((n)!))  on  I
10.  b  -  a  \mneq{}  r0
11.  e  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  e
13.  R  :  \mBbbR{}
14.  Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])  =  R
15.  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  \msubseteq{}  I 
16.  rmin(a;b)  <  rmax(a;b)
\mvdash{}  (F[0;b]  -  Taylor-approx(n;rmin(a;b);b;k,x.F[k;x])  +  (R  *  (b  -  rmin(a;b))/b  -  a))
=  (F[0;b]  -  Taylor-approx(n;rmax(a;b);b;k,x.F[k;x])  +  (R  *  (b  -  rmax(a;b))/b  -  a))


By

---

Latex:
(InstLemma  `rmin-max-cases`  [\mkleeneopen{}a\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index