---

Step * 1 1 1 4 of Lemma Taylor-theorem-case1


1. I : Interval
2. n : ℕ
3. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀b:{a:ℝ| a ∈ I} 
     ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
     ⇒ d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I)
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I
10. b - a ≠ r0
11. e : ℝ
12. r0 < e
13. R : ℝ
14. Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = R ∈ ℝ
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. rmin(a;b) < rmax(a;b)
17. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]) ∧ (|(R/b - a) - b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!))| ≤ e))))
⊢ ∃c:ℝ. ((rmin(a;b) ≤ c) ∧ (c ≤ rmax(a;b)) ∧ (|R - (b - c^n * (F[n + 1;c]/r((n)!))) * (b - a)| ≤ e))
BY
{ ((Assert r0 < |b - a| BY EAuto 1) THEN (InstHyp [⌜(e/|b - a|)⌝] (-2)⋅ THEN Auto)⋅) }

1
.....antecedent..... 
1. I : Interval
2. n : ℕ
3. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀b:{a:ℝ| a ∈ I} 
     ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
     ⇒ d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I)
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I
10. b - a ≠ r0
11. e : ℝ
12. r0 < e
13. R : ℝ
14. Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = R ∈ ℝ
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. rmin(a;b) < rmax(a;b)
17. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]) ∧ (|(R/b - a) - b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!))| ≤ e))))
18. r0 < |b - a|
⊢ r0 < (e/|b - a|)

2
1. I : Interval
2. n : ℕ
3. F : ℕn + 2 ⟶ I ⟶ℝ
4. ∀b:{a:ℝ| a ∈ I} 
     ((∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y])))
     ⇒ finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
     ⇒ d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I)
5. a : {a:ℝ| a ∈ I} 
6. b : {a:ℝ| a ∈ I} 
7. ∀k:ℕn + 2. ∀x,y:{a:ℝ| a ∈ I} .  ((x = y) ⇒ (F[k;x] = F[k;y]))
8. finite-deriv-seq(I;n + 1;i,x.F[i;x])
9. d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da = λx.b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!)) on I
10. b - a ≠ r0
11. e : ℝ
12. r0 < e
13. R : ℝ
14. Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x]) = R ∈ ℝ
15. [rmin(a;b), rmax(a;b)] ⊆ I 
16. rmin(a;b) < rmax(a;b)
17. ∀e:ℝ. ((r0 < e) ⇒ (∃x:ℝ. ((x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]) ∧ (|(R/b - a) - b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!))| ≤ e))))
18. r0 < |b - a|
19. ∃x:ℝ. ((x ∈ [rmin(a;b), rmax(a;b)]) ∧ (|(R/b - a) - b - x^n * (F[n + 1;x]/r((n)!))| ≤ (e/|b - a|)))
⊢ ∃c:ℝ. ((rmin(a;b) ≤ c) ∧ (c ≤ rmax(a;b)) ∧ (|R - (b - c^n * (F[n + 1;c]/r((n)!))) * (b - a)| ≤ e))

---

Latex:

---

Latex:

1.  I  :  Interval
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  F  :  \mBbbN{}n  +  2  {}\mrightarrow{}  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  \mforall{}b:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
          ((\mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y])))
          {}\mRightarrow{}  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
          {}\mRightarrow{}  d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da  =  \mlambda{}x.b  -  x\^{}n  *  (F[n  +  1;x]/r((n)!))  on  I)
5.  a  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
6.  b  :  \{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\} 
7.  \mforall{}k:\mBbbN{}n  +  2.  \mforall{}x,y:\{a:\mBbbR{}|  a  \mmember{}  I\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (F[k;x]  =  F[k;y]))
8.  finite-deriv-seq(I;n  +  1;i,x.F[i;x])
9.  d(Taylor-approx(n;a;b;i,x.F[i;x]))/da  =  \mlambda{}x.b  -  x\^{}n  *  (F[n  +  1;x]/r((n)!))  on  I
10.  b  -  a  \mneq{}  r0
11.  e  :  \mBbbR{}
12.  r0  <  e
13.  R  :  \mBbbR{}
14.  Taylor-remainder(I;n;b;a;k,x.F[k;x])  =  R
15.  [rmin(a;b),  rmax(a;b)]  \msubseteq{}  I 
16.  rmin(a;b)  <  rmax(a;b)
17.  \mforall{}e:\mBbbR{}
            ((r0  <  e)
            {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbR{}
                      ((x  \mmember{}  [rmin(a;b),  rmax(a;b)])  \mwedge{}  (|(R/b  -  a)  -  b  -  x\^{}n  *  (F[n  +  1;x]/r((n)!))|  \mleq{}  e))))
\mvdash{}  \mexists{}c:\mBbbR{}.  ((rmin(a;b)  \mleq{}  c)  \mwedge{}  (c  \mleq{}  rmax(a;b))  \mwedge{}  (|R  -  (b  -  c\^{}n  *  (F[n  +  1;c]/r((n)!)))  *  (b  -  a)|  \mleq{}  e))


By

---

Latex:
((Assert  r0  <  |b  -  a|  BY  EAuto  1)  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}(e/|b  -  a|)\mkleeneclose{}]  (-2)\mcdot{}  THEN  Auto)\mcdot{})

---

Home Index