---

Step * 1 2 of Lemma approx-arg-interval_wf


1. l : ℝ
2. r : {r:ℝ| l < r} 
3. f : [l, r] ⟶ℝ
4. f' : [l, r] ⟶ℝ
5. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ [l, r]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [l, r]
7. B : ℕ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} . (|f'[x]| ≤ r(B))
9. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
10. x : {x:ℝ| x ∈ [l, r]} 
11. accelerate(1 + (2 * B);λn.eval a = x n in
                              eval m = 2 * n in
                              eval x' = if (a * 2) < ((l m) + 2)
                                           then l
                                           else if ((r m) - 2) < (a * 2)  then r  else (r(a))/m in
                                f x' n)
= accelerate(1 + (2 * B);λn.(f approx-in-interval(l;r;x;n) n))
∈ (ℕ+ ⟶ ℤ)
⊢ accelerate(1 + (2 * B);λn.eval a = x n in
                            eval m = 2 * n in
                            eval x' = if (a * 2) < ((l m) + 2)
                                         then l
                                         else if ((r m) - 2) < (a * 2)  then r  else (r(a))/m in
                              f x' n) ∈ {y:ℝ| y = (f x)} 
BY
{ Assert ⌜accelerate(1 + (2 * B);λn.(f approx-in-interval(l;r;x;n) n)) ∈ {y:ℝ| y = (f x)} ⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. l : ℝ
2. r : {r:ℝ| l < r} 
3. f : [l, r] ⟶ℝ
4. f' : [l, r] ⟶ℝ
5. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ [l, r]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [l, r]
7. B : ℕ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} . (|f'[x]| ≤ r(B))
9. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
10. x : {x:ℝ| x ∈ [l, r]} 
11. accelerate(1 + (2 * B);λn.eval a = x n in
                              eval m = 2 * n in
                              eval x' = if (a * 2) < ((l m) + 2)
                                           then l
                                           else if ((r m) - 2) < (a * 2)  then r  else (r(a))/m in
                                f x' n)
= accelerate(1 + (2 * B);λn.(f approx-in-interval(l;r;x;n) n))
∈ (ℕ+ ⟶ ℤ)
⊢ accelerate(1 + (2 * B);λn.(f approx-in-interval(l;r;x;n) n)) ∈ {y:ℝ| y = (f x)} 

2
1. l : ℝ
2. r : {r:ℝ| l < r} 
3. f : [l, r] ⟶ℝ
4. f' : [l, r] ⟶ℝ
5. ∀x,y:{t:ℝ| t ∈ [l, r]} .  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
6. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on [l, r]
7. B : ℕ
8. ∀x:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} . (|f'[x]| ≤ r(B))
9. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ [l, r]} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
10. x : {x:ℝ| x ∈ [l, r]} 
11. accelerate(1 + (2 * B);λn.eval a = x n in
                              eval m = 2 * n in
                              eval x' = if (a * 2) < ((l m) + 2)
                                           then l
                                           else if ((r m) - 2) < (a * 2)  then r  else (r(a))/m in
                                f x' n)
= accelerate(1 + (2 * B);λn.(f approx-in-interval(l;r;x;n) n))
∈ (ℕ+ ⟶ ℤ)
12. accelerate(1 + (2 * B);λn.(f approx-in-interval(l;r;x;n) n)) ∈ {y:ℝ| y = (f x)} 
⊢ accelerate(1 + (2 * B);λn.eval a = x n in
                            eval m = 2 * n in
                            eval x' = if (a * 2) < ((l m) + 2)
                                         then l
                                         else if ((r m) - 2) < (a * 2)  then r  else (r(a))/m in
                              f x' n) ∈ {y:ℝ| y = (f x)} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  l  :  \mBbbR{}
2.  r  :  \{r:\mBbbR{}|  l  <  r\} 
3.  f  :  [l,  r]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
4.  f'  :  [l,  r]  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
5.  \mforall{}x,y:\{t:\mBbbR{}|  t  \mmember{}  [l,  r]\}  .    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y]))
6.  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  [l,  r]
7.  B  :  \mBbbN{}
8.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [l,  r]\}  .  (|f'[x]|  \mleq{}  r(B))
9.  \mforall{}x,y:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [l,  r]\}  .    (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r(B)  *  |x  -  y|))
10.  x  :  \{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  [l,  r]\} 
11.  accelerate(1  +  (2  *  B);\mlambda{}n.eval  a  =  x  n  in
                                                            eval  m  =  2  *  n  in
                                                            eval  x'  =  if  (a  *  2)  <  ((l  m)  +  2)
                                                                                      then  l
                                                                                      else  if  ((r  m)  -  2)  <  (a  *  2)    then  r    else  (r(a))/m  in
                                                                f  x'  n)
=  accelerate(1  +  (2  *  B);\mlambda{}n.(f  approx-in-interval(l;r;x;n)  n))
\mvdash{}  accelerate(1  +  (2  *  B);\mlambda{}n.eval  a  =  x  n  in
                                                        eval  m  =  2  *  n  in
                                                        eval  x'  =  if  (a  *  2)  <  ((l  m)  +  2)
                                                                                  then  l
                                                                                  else  if  ((r  m)  -  2)  <  (a  *  2)    then  r    else  (r(a))/m  in
                                                            f  x'  n)  \mmember{}  \{y:\mBbbR{}|  y  =  (f  x)\} 


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}accelerate(1  +  (2  *  B);\mlambda{}n.(f  approx-in-interval(l;r;x;n)  n))  \mmember{}  \{y:\mBbbR{}|  y  =  (f  x)\}  \mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index