---

Step * of Lemma approx-arg_wf

∀f,f':(-∞, ∞) ⟶ℝ.
  ((∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y])))
  ⇒ d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
  ⇒ (∀B:ℕ. ((∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))) ⇒ (∀x:ℝ. (approx-arg(f;B;x) ∈ {y:ℝ| y = (f x)} )))))
BY
{ ((InstLemma `mean-value-for-bounded-derivative` [(-∞, ∞)]⋅ THENA Auto)
   THEN RepeatFor 4 ((ParallelLast' THENA Auto))
   THEN Auto
   THEN ((D -4 With ⌜r(B)⌝  THENM D -1) THENA Auto)
   THEN Unfold `approx-arg` 0
   THEN Assert ⌜1 + B-regular-seq(λn.eval a = x n in
                                     eval m = 2 * n in
                                       f (r(a))/m n)⌝⋅) }

1
.....assertion..... 
1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
⊢ 1 + B-regular-seq(λn.eval a = x n in
                       eval m = 2 * n in
                         f (r(a))/m n)

2
1. f : (-∞, ∞) ⟶ℝ
2. f' : (-∞, ∞) ⟶ℝ
3. ∀x,y:ℝ.  ((x = y) ⇒ (f'[x] = f'[y]))
4. d(f[x])/dx = λx.f'[x] on (-∞, ∞)
5. B : ℕ
6. ∀x:ℝ. (|f'[x]| ≤ r(B))
7. x : ℝ
8. ∀x,y:{x:ℝ| x ∈ (-∞, ∞)} .  (|f[x] - f[y]| ≤ (r(B) * |x - y|))
9. 1 + B-regular-seq(λn.eval a = x n in
                        eval m = 2 * n in
                          f (r(a))/m n)
⊢ accelerate(1 + B;λn.eval a = x n in
                      eval m = 2 * n in
                        f (r(a))/m n) ∈ {y:ℝ| y = (f x)} 

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}f,f':(-\minfty{},  \minfty{})  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.
    ((\mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  =  y)  {}\mRightarrow{}  (f'[x]  =  f'[y])))
    {}\mRightarrow{}  d(f[x])/dx  =  \mlambda{}x.f'[x]  on  (-\minfty{},  \minfty{})
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}B:\mBbbN{}.  ((\mforall{}x:\mBbbR{}.  (|f'[x]|  \mleq{}  r(B)))  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x:\mBbbR{}.  (approx-arg(f;B;x)  \mmember{}  \{y:\mBbbR{}|  y  =  (f  x)\}  )))))


By

---

Latex:
((InstLemma  `mean-value-for-bounded-derivative`  [(-\minfty{},  \minfty{})]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepeatFor  4  ((ParallelLast'  THENA  Auto))
  THEN  Auto
  THEN  ((D  -4  With  \mkleeneopen{}r(B)\mkleeneclose{}    THENM  D  -1)  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `approx-arg`  0
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}1  +  B-regular-seq(\mlambda{}n.eval  a  =  x  n  in
                                                                      eval  m  =  2  *  n  in
                                                                          f  (r(a))/m  n)\mkleeneclose{}\mcdot{})

---

Home Index