---

Step * 1 1 1 of Lemma chain-rule_1

.....assertion..... 
1. I : Interval@i
2. J : Interval@i
3. f : I ⟶ℝ@i
4. f' : I ⟶ℝ@i
5. g : J ⟶ℝ@i
6. g' : J ⟶ℝ@i
7. f[x] continuous for x ∈ I@i
8. f'[x] continuous for x ∈ I@i
9. g'[x] continuous for x ∈ J@i
10. λx.f'[x] = d(f[x])/dx on I@i
11. λx.g'[x] = d(g[x])/dx on J@i
12. k : ℕ+@i
13. n : {n:ℕ+| icompact(i-approx(I;n))} @i
14. m : {m:ℕ+| icompact(i-approx(J;m))} @i
15. ∀x:{x:ℝ| x ∈ i-approx(I;n)} . (f[x] ∈ i-approx(J;m))@i
16. mc1 : f'[x] continuous for x ∈ i-approx(I;n)
17. ∃a:ℝ. ∀[x:{r:ℝ| r ∈ i-approx(I;n)} ]. (|f'[x]| ≤ a)
18. mc2 : g'[x] continuous for x ∈ i-approx(J;m)
19. ∃b:ℝ. ∀[x:{r:ℝ| r ∈ i-approx(J;m)} ]. (|g'[x]| ≤ b)
20. f' ∈ i-approx(I;n) ⟶ℝ
21. A : ℕ+
22. ∀r:ℝ. ((r ∈ i-approx(I;n)) ⇒ (|f'[r]| ≤ (r(A)/r(2 * k))))
23. g ∈ i-approx(J;m) ⟶ℝ
24. g' ∈ i-approx(J;m) ⟶ℝ
25. f ∈ i-approx(I;n) ⟶ℝ
⊢ ∃d:ℝ
   ((r0 < d)
   ∧ (∀x,y:ℝ.
        ((x ∈ i-approx(I;n))
        ⇒ (y ∈ i-approx(I;n))
        ⇒ (|y - x| ≤ d)
        ⇒ (|g[f[y]] - g[f[x]] - g'[f[x]] * (f[y] - f[x])| ≤ ((r1/r(A)) * |f[y] - f[x]|)))))
BY
{ ((With ⌜A⌝ (D 11)⋅ THENA Auto)
   THEN (With ⌜m⌝ (D (-1))⋅ THENA Auto)
   THEN D (-1)
   THEN (InstLemma `small-reciprocal-real` [⌜del⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN D (-1)
   THEN (With ⌜n⌝ (D 7)⋅ THENA Auto)
   THEN (With ⌜k1⌝ (D (-1))⋅ THENA Auto)
   THEN D (-1)
   THEN With ⌜d⌝ (D 0)⋅
   THEN Auto
   THEN Try ((Unhide THEN Auto))
   THEN BackThruSomeHyp
   THEN Auto
   THEN RWO "-7" 0
   THEN Auto)⋅ }

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  I  :  Interval@i
2.  J  :  Interval@i
3.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
4.  f'  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
5.  g  :  J  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
6.  g'  :  J  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}@i
7.  f[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
8.  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  I@i
9.  g'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  J@i
10.  \mlambda{}x.f'[x]  =  d(f[x])/dx  on  I@i
11.  \mlambda{}x.g'[x]  =  d(g[x])/dx  on  J@i
12.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
13.  n  :  \{n:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(I;n))\}  @i
14.  m  :  \{m:\mBbbN{}\msupplus{}|  icompact(i-approx(J;m))\}  @i
15.  \mforall{}x:\{x:\mBbbR{}|  x  \mmember{}  i-approx(I;n)\}  .  (f[x]  \mmember{}  i-approx(J;m))@i
16.  mc1  :  f'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(I;n)
17.  \mexists{}a:\mBbbR{}.  \mforall{}[x:\{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  i-approx(I;n)\}  ].  (|f'[x]|  \mleq{}  a)
18.  mc2  :  g'[x]  continuous  for  x  \mmember{}  i-approx(J;m)
19.  \mexists{}b:\mBbbR{}.  \mforall{}[x:\{r:\mBbbR{}|  r  \mmember{}  i-approx(J;m)\}  ].  (|g'[x]|  \mleq{}  b)
20.  f'  \mmember{}  i-approx(I;n)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
21.  A  :  \mBbbN{}\msupplus{}
22.  \mforall{}r:\mBbbR{}.  ((r  \mmember{}  i-approx(I;n))  {}\mRightarrow{}  (|f'[r]|  \mleq{}  (r(A)/r(2  *  k))))
23.  g  \mmember{}  i-approx(J;m)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
24.  g'  \mmember{}  i-approx(J;m)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
25.  f  \mmember{}  i-approx(I;n)  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
\mvdash{}  \mexists{}d:\mBbbR{}
      ((r0  <  d)
      \mwedge{}  (\mforall{}x,y:\mBbbR{}.
                ((x  \mmember{}  i-approx(I;n))
                {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  i-approx(I;n))
                {}\mRightarrow{}  (|y  -  x|  \mleq{}  d)
                {}\mRightarrow{}  (|g[f[y]]  -  g[f[x]]  -  g'[f[x]]  *  (f[y]  -  f[x])|  \mleq{}  ((r1/r(A))  *  |f[y]  -  f[x]|)))))


By

---

Latex:
((With  \mkleeneopen{}A\mkleeneclose{}  (D  11)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (With  \mkleeneopen{}m\mkleeneclose{}  (D  (-1))\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  (-1)
  THEN  (InstLemma  `small-reciprocal-real`  [\mkleeneopen{}del\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  (-1)
  THEN  (With  \mkleeneopen{}n\mkleeneclose{}  (D  7)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (With  \mkleeneopen{}k1\mkleeneclose{}  (D  (-1))\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  (-1)
  THEN  With  \mkleeneopen{}d\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((Unhide  THEN  Auto))
  THEN  BackThruSomeHyp
  THEN  Auto
  THEN  RWO  "-7"  0
  THEN  Auto)\mcdot{}

---

Home Index