---

Step * of Lemma continuous-limit

∀I:Interval. ∀f:I ⟶ℝ. ∀y:ℝ. ∀x:ℕ ⟶ ℝ.
  (f(x) continuous for x ∈ I ⇒ lim n→∞.x[n] = y ⇒ (y ∈ I) ⇒ (∀n:ℕ. (x[n] ∈ I)) ⇒ lim n→∞.f(x[n]) = f(y))
BY
{ (Auto
   THEN D 0
   THEN Auto
   THEN DupHyp (-3)
   THEN ((RWO "i-member-iff" (-1) THENM D -1) THENA Auto)
   THEN (InstLemma `i-approx-monotonic` [⌜I⌝;⌜n⌝;⌜2 * n⌝;⌜y⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN (FLemma `i-approx-compact` [-1] THENA Auto)
   THEN Unfold `continuous` 5
   THEN (InstHyp [⌜2 * n⌝;⌜k⌝] 5⋅ THENA Auto)
   THEN D -1) }

1
1. I : Interval
2. f : I ⟶ℝ
3. y : ℝ
4. x : ℕ ⟶ ℝ
5. ∀m:{m:ℕ+| icompact(i-approx(I;m))} . ∀n:ℕ+.
     (∃d:{ℝ| ((r0 < d)
             ∧ (∀x,y:ℝ.
                  ((x ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;m)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f(x) - f(y)| ≤ (r1/r(n))))))})
6. lim n→∞.x[n] = y
7. y ∈ I
8. ∀n:ℕ. (x[n] ∈ I)
9. k : ℕ+
10. n : ℕ+
11. y ∈ i-approx(I;n)
12. y ∈ i-approx(I;2 * n)
13. icompact(i-approx(I;2 * n))
14. d : ℝ
15. [%26] : (r0 < d)
∧ (∀x,y:ℝ.  ((x ∈ i-approx(I;2 * n)) ⇒ (y ∈ i-approx(I;2 * n)) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f(x) - f(y)| ≤ (r1/r(k)))))
⊢ ∃N:{ℕ| (∀n:ℕ. ((N ≤ n) ⇒ (|f(x[n]) - f(y)| ≤ (r1/r(k)))))}

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}I:Interval.  \mforall{}f:I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}.  \mforall{}y:\mBbbR{}.  \mforall{}x:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbR{}.
    (f(x)  continuous  for  x  \mmember{}  I
    {}\mRightarrow{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.x[n]  =  y
    {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}n:\mBbbN{}.  (x[n]  \mmember{}  I))
    {}\mRightarrow{}  lim  n\mrightarrow{}\minfty{}.f(x[n])  =  f(y))


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  D  0
  THEN  Auto
  THEN  DupHyp  (-3)
  THEN  ((RWO  "i-member-iff"  (-1)  THENM  D  -1)  THENA  Auto)
  THEN  (InstLemma  `i-approx-monotonic`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}2  *  n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}y\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (FLemma  `i-approx-compact`  [-1]  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `continuous`  5
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}2  *  n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}k\mkleeneclose{}]  5\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1)

---

Home Index