---

Step * 1 4 of Lemma continuous-range-totally-bounded


1. m : ℕ+
2. e : ℝ
3. r0 < e
4. k : ℕ+
5. (r1/r(k)) < e
6. d : ℝ
7. I : Interval
8. icompact(I)
9. f : I ⟶ℝ
10. r0 < d
11. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
12. p : partition(I)
13. partition-mesh(I;p) ≤ d
14. ∀i:ℕ||full-partition(I;p)||. ((λi.f(full-partition(I;p)[i])) i ∈ f[x](x∈I))
15. x : ℝ
16. x ∈ f[x](x∈I)
⊢ ∃i:ℕ||full-partition(I;p)||. (|x - (λi.f(full-partition(I;p)[i])) i| < e)
BY
{ (RenameVar `y' (-2)
   THEN RepUR ``rset-member rrange`` (-1)
   THEN ExRepD
   THEN Reduce 0
   THEN (InstLemma `mesh-property` [⌜I⌝;⌜p⌝;⌜d⌝;⌜x⌝]⋅ THENA Auto))⋅ }

1
1. m : ℕ+
2. e : ℝ
3. r0 < e
4. k : ℕ+
5. (r1/r(k)) < e
6. d : ℝ
7. I : Interval
8. icompact(I)
9. f : I ⟶ℝ
10. r0 < d
11. ∀x,y:ℝ.  ((x ∈ I) ⇒ (y ∈ I) ⇒ (|x - y| ≤ d) ⇒ (|f[x] - f[y]| ≤ (r1/r(k))))
12. p : partition(I)
13. partition-mesh(I;p) ≤ d
14. ∀i:ℕ||full-partition(I;p)||. ((λi.f(full-partition(I;p)[i])) i ∈ f[x](x∈I))
15. y : ℝ
16. x : ℝ
17. x ∈ I
18. f[x] = y
19. ∃i:ℕ||full-partition(I;p)||. (|x - full-partition(I;p)[i]| ≤ d)
⊢ ∃i:ℕ||full-partition(I;p)||. (|y - f(full-partition(I;p)[i])| < e)

---

Latex:

---

Latex:

1.  m  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  e  :  \mBbbR{}
3.  r0  <  e
4.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
5.  (r1/r(k))  <  e
6.  d  :  \mBbbR{}
7.  I  :  Interval
8.  icompact(I)
9.  f  :  I  {}\mrightarrow{}\mBbbR{}
10.  r0  <  d
11.  \mforall{}x,y:\mBbbR{}.    ((x  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (y  \mmember{}  I)  {}\mRightarrow{}  (|x  -  y|  \mleq{}  d)  {}\mRightarrow{}  (|f[x]  -  f[y]|  \mleq{}  (r1/r(k))))
12.  p  :  partition(I)
13.  partition-mesh(I;p)  \mleq{}  d
14.  \mforall{}i:\mBbbN{}||full-partition(I;p)||.  ((\mlambda{}i.f(full-partition(I;p)[i]))  i  \mmember{}  f[x](x\mmember{}I))
15.  x  :  \mBbbR{}
16.  x  \mmember{}  f[x](x\mmember{}I)
\mvdash{}  \mexists{}i:\mBbbN{}||full-partition(I;p)||.  (|x  -  (\mlambda{}i.f(full-partition(I;p)[i]))  i|  <  e)


By

---

Latex:
(RenameVar  `y'  (-2)
  THEN  RepUR  ``rset-member  rrange``  (-1)
  THEN  ExRepD
  THEN  Reduce  0
  THEN  (InstLemma  `mesh-property`  [\mkleeneopen{}I\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}d\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}x\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto))\mcdot{}

---

Home Index